Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Calcule o trabalho realizado pela força F = x y i + y 2 j ao mover uma partícula da origem ao longo da reta y = x até 1,1 e então de volta à origem ao longo da curva y = x 2

Passo 1

Bem ele quer o trabalho realizado ao longo dessas curvas que ele disse, lembra como calculamos o trabalho de uma força? É só fazer a integral de linha de F ao longo da curva C que ele deu. Então

τ = ∫ C F ∙ d r

Podemos separa essa curva C em duas partes C 1 e C 2 . C 1 vai ser a reta que vai da origem até 1,1 e C 2 vai ser a curva y = x 2 que vai de 1,1 até a origem. Então o trabalho vai ser

τ = ∫ C 1 F ∙ d r + ∫ C 2 F ∙ d r

Passo 2

Vamos achar cada uma dessas integrais de linha, começando com C 1

∫ C 1 F ∙ d r

A primeira coisa é parametrizar a curva C 1 , ela é a reta

y = x

Então vamos fazer

x = t

E

y = t

E vamos ter

σ 1 = t , t

Como vamos de x = 0 até x = 1 vamos ter

t ∈ 0,1

Passo 3

Agora vamos achar a derivada de σ 1

σ 1 ' = 1,1

Passo 4

A nossa integral de linha vai ficar

∫ C 1 F ∙ d r = ∫ 0 1 t . t , t 2 ∙ 1,1 d t =

∫ 0 1 t 2 , t 2 ∙ 1,1 d t =

∫ 0 1 t 2 + t 2 d t =

∫ 0 1 2 t 2 d t =

2 t 3 3 0 1 =

2.1 3 3 - 2.0 3 3 =

2 3

Passo 5

Vamos agora a outra integral de linha ao longo de C 2

∫ C 2 F ∙ d r

A primeira coisa é parametrizar a curva C 1 , ela é a reta

y = x 2

Então vamos fazer

x = t

E

y = t 2

E vamos ter

σ 2 = t , t 2

Como vamos de x = 1 até x = 0 vamos ter t indo de 1 à 0

Passo 6

Agora vamos achar a derivada de σ 2

σ 2 ' = 1,2 t

Passo 7

A nossa integral de linha vai ficar

∫ C 2 F ∙ d r = ∫ 1 0 t 2 . t , t 2 2 ∙ 1 , 2 t d t =

∫ 1 0 t 3 , t 4 ∙ 1,2 t d t =

∫ 1 0 t 3 + 2 t 5 d t =

t 4 4 + 2 t 6 6 1 0 =

0 4 4 + 2.0 6 6 - 1 4 4 + 2.1 6 6 =

0 - 1 4 + 2 6 =

- 1 4 - 2 6 =

- 1 4 - 1 3 =

- 4 - 3 12 =

- 7 12

Passo 8

Agora temos as duas integrais de linha, nosso trabalho vai ficar

τ = ∫ C 1 F ∙ d r + ∫ C 2 F ∙ d r

τ = 2 3 - 7 12

τ = 8 - 7 12

τ = 1 12

Resposta

1 12

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