Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Considere a curva

α t = t - 2 , t 2 - 12 t + 22

Definida para t ∈ [ 3,9 ] , e a função escalar

f x , y = x 2 - y - 30

Definida sobre o traço de α .

  1. Esboce o traço de α e calcule ∫ α f   d s
  2. Exprima o comprimento de α como uma integral definida (não precisa resolver a integral, mas simplifique)
  3. Se o traço de α for interpretado como um fio e f ( x , y ) for interpretado como a densidade linear de carga elétrica no ponto ( x , y ) desse fio, qual é a interpretação correspondente para ∫ α f   d s ?
  4. Existe um campo vetorial F : α 3,9 → R 2 tal que ∫ α F ∙ d r = ∫ α f   d s ?

Passo 1

a )

Temos a curva α ( t ) , onde

x ( t ) = t - 2

y ( t ) = t 2 - 12 t + 22

Para obter o traço ou trajetória dessa curva, vamos encontrar a equação cartesiana dela.

Isolando o parâmetro t em x ( t ) , temos:

t = x - 2

Substituindo em y ( t ) :

y = x - 2 2 - 12 x - 2 + 22

y = x 2 - 8 x + 2

Essa é a equação cartesiana da nossa curva então.

Passo 2

Essa equação cartesiana é a equação de uma parábola com concavidade voltada para cima.

Pronto, então pra esboçar o traço dessa curva é só esboçar essa parábola.

CALMA! É quase isso, mas temos que tomar um cuidado especial. Isso porque a nossa curva α ( t ) não está definida para todo e qualquer t , mas só no intervalo [ 3,9 ] . Assim, o seu traço se limita a porção dessa parábola entre os pontos α ( 3 ) e α ( 9 ) .

Vamos calcular esses pontos então:

α 3 = 3 - 2 , 3 2 - 12.3 + 22 = ( 1 , - 5 )

α 9 = 9 - 2 , 9 2 - 12.9 + 22 = ( 7 , - 5 )

Passo 3

Pronto, agora sim podemos esboçar nosso traço:

Passo 4

Antes de partir para a letra b , a gente ainda tem que calcular ∫ α f   d s .

Pra calcular essa integral de linha, temos que encontrar esse termo d s , lembra como ele é?

d s = α ' t d t

Derivando a parametrização α aqui

α t = t - 2 , t 2 - 12 t + 22 ; 3 ≤ t ≤ 9

α ' t = 1,2 t - 12

O módulo disso é

α ' t = 1 2 + 2 t - 12 2 = 4 t 2 - 48 t + 145

Bem chatinha essa raiz né, mas infelizmente é isso mesmo. Vamos continuar!

Precisamos ver como é a função f com os parâmetros de α também, olha só

f x , y = x 2 - y - 30

Onde x = t - 2 e y = t 2 - 12 t + 22 , com isso

f t = t - 2 2 - t 2 - 12 t + 22 - 30

= t 2 - 4 t + 4 - t 2 + 12 t - 22 - 30

f t = 8 t - 48

Passo 5

Pronto, vamos colocar tudo na integral agora e calcular!

∫ α f   d s = ∫ 3 9 8 t - 48 4 t 2 - 48 t + 145 d t

Pra resolver isso, olha essa substituição que podemos fazer

u = 4 t 2 - 48 t + 145

d u = 8 t - 48 d t

t = 3 → u = 4.3 2 - 48.3 + 145

u = 37

t = 9 → u = 4.9 2 - 48.9 + 145

u = 37

Olha só, os intervalos são iguais! A integral fica

∫ 3 9 8 t - 48 ⏟ d u 4 t 2 - 48 t + 145 ⏟ u d t

= ∫ 37 37 u d u = 0

Passo 6

b )

Vamos exprimir o comprimento da nossa curva agora.

L = ∫ t 1 t 2 α ' t d t

Temos

t 1 = 3

t 2 = 9

α ' t = 4 t 2 - 48 t + 145

Conforme vimos no passo anterior.

Assim, a integral que expressa o comprimento da curva é

L = ∫ 3 9 4 t 2 - 48 t + 145   d t

Passo 7

c )

Integrar a densidade de carga em cada mínimo intervalo da curva, ou seja, em cada d s nada mais é do que fazer um somatório de todas as cargas “infinitesimais”.

Oi? Como assim?

Pensa o seguinte, quando temos a densidade linear de um fio, o que ela representa?

Ela é “quantidade de massa” por “espaço”, ou seja, g/cm por exemplo. Se somarmos todos esses pequenos intervalos temos a massa total!

Aplicando isso pra densidade de carga linear é praticamente a mesma coisa! Integrar a densidade de carga nos dá como resultado a carga total sobre a curva!

Passo 8

d )

Essa pergunta aí é meio teórica demais, galera. De novo tem que ganhar o ponto do professor na escrita mesmo, não tem conta.

A questão aqui pede pra dizer se existe um campo cuja integral de linha seja igual à f , assim

∫ α F ∙ d r = ∫ α f   d s

Qual a diferença nisso aí? Bom, na verdade a primeira integral é uma integral de linha caso vetorial, ou seja, F → . d r → . Enquanto a segunda é uma função escalar mesmo.

A resposta depende de um conceito que diz que o campo F → que resulta na igualdade dessas integrais sempre existe quando a curva é lisa e simples. Em outras palavras, quando a curva é contínua!

Pra provar isso é só mostrar que a derivada da parametrização existe em todos os pontos do domínio!

No caso α ' t = 1,2 t - 12 , então pra qualquer t ∈ R existe a derivada. Portanto com certeza existe um campo F → que satisfaça o pedido do enunciado. =D

Resposta

a ) 0

b ) ∫ 3 9 4 t 2 - 48 t + 145   d t

c ) A carga total sobre a curva

d ) Sim

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