Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

PUC-RJ - Cálculo 3 - P2 2013.2 - 2b

Considere a integral de linha

I = ∮ C F ∙ d r

Onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido anti-horário e F é o campo vetorial definido por F x , y = x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2

Calcule Essa integral pela definição de integral de linha.

Passo 1

Temos que entender como é a região que ele falou. Repara que a região vai ser entre as circunferências de raio 1 e 2 , e limitada por x ≥ 0 e y ≥ 0 porque está no primeiro quadrante. Então a região fica assim

Como ele quer no sentido anti-horário vamos ter o seguinte sentido das 4 curvas

Para fazer a integral de linha vamos ter

I = ∫ C 1 F ∙ d r + ∫ C 2 F ∙ d r + ∫ C 3 F ∙ d r + ∫ C 4 F ∙ d r

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar com C 1 , vamos fazer a parametrização da circunferência de raio 1

r 1 θ = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

θ ∈ 0 , π 2

Na verdade temos que pegar a integral com o sinal trocado né? Desse jeito ele está rodando no sentido contrário ao longo da circunferência.

Agora queremos a derivada

r 1 ' t = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ

A integral vai ficar

∫ C 1 F ∙ d r = - ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 , - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ - ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 1 , - sen ⁡ θ 1 ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ - ∫ 0 π / 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

⇒ - ∫ 0 π / 2 - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando que sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

⇒ - ∫ 0 π / 2 - sen ⁡ 2 θ d θ

⇒ ∫ 0 π / 2 sen ⁡ 2 θ d θ

⇒ - cos ⁡ 2 θ 2 θ = 0 π / 2

⇒ - cos ⁡ 2 ∙ π 2 2 - - cos ⁡ 2 ∙ 0 2

⇒ - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0 2

⇒ - - 1 2 - - 1 2

⇒ 1 2 - - 1 2

⇒ 1 2 + 1 2

⇒ 1

Passo 3

Vamos agora para C 2 , nela só p valor de x vai variar, que vai de 1 à 2 , então a parametrização fica

r 2 t = t , 0

Com t ∈ 1,2

Vamos a derivada da parametrização

r 2 ' t = 1,0

A integral vai ficar

∫ C 2 F ∙ d r = ∫ 1 2 t t 2 + 0 2 , - 0 t 2 + 0 2 ∙ 1,0 d t

⇒ ∫ 1 2 t t 2 , 0 ∙ 1,0 d t

⇒ ∫ 1 2 1 t d t

⇒ ln ⁡ t t = 1 2

⇒ ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

⇒ ln ⁡ 2

Passo 4

Vamos para C 3 , vamos fazer a parametrização da circunferência de raio 2

r 3 θ = 2 cos ⁡ θ , 2 sen ⁡ θ

θ ∈ 0 , π 2

Aqui ele está rodando no sentido certinho

Agora queremos a derivada

r 3 ' t = - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ

A integral vai ficar

∫ C 3 F ∙ d r = ∫ 0 π / 2 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 + 2 sen ⁡ θ 2 , - 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 + 2 sen ⁡ θ 2 ∙ - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 π / 2 2 cos ⁡ θ 4 , - 2 sen ⁡ θ 4 ∙ - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 2 , - sen ⁡ θ 2 ∙ - 2 sen ⁡ θ , 2 cos ⁡ θ d θ

⇒ ∫ 0 π / 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

�� ∫ 0 π / 2 - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando que sem ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ

⇒ ∫ 0 π / 2 - sen ⁡ 2 θ d θ

⇒ cos ⁡ 2 θ 2 θ = 0 π / 2

⇒ cos ⁡ 2 ∙ π 2 2 - cos ⁡ 2 ∙ 0 2

⇒ cos ⁡ π 2 - cos ⁡ 0 2

⇒ - 1 2 - 1 2

⇒ - 1 2 - 1 2

⇒ - 1 2 - 1 2

⇒ - 1

Passo 5

Vamos agora para C 4 , nela só o valor de y vai variar, que vai de 1 à 2 , então a parametrização fica

r 4 t = 0 , t

Com t ∈ 1,2

Na verdade temos que pegar a integral com o sinal trocado né? Desse jeito ele está rodando no sentido contrário ao longo da reta.

Vamos a derivada da parametrização

r 4 ' t = 0,1

A integral vai ficar

∫ C 4 F ∙ d r = - ∫ 1 2 0 0 2 + t 2 , - t 0 2 + t 2 ∙ 0,1 d t

⇒ - ∫ 1 2 0 , - t t 2 ∙ 0,1 d t

⇒ - ∫ 1 2 - 1 t d t

⇒ ∫ 1 2 1 t d t

⇒ ln ⁡ t t = 1 2

⇒ ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

⇒ ln ⁡ 2

Passo 6

Vamos ter

I = ∫ C 1 F ∙ d r + ∫ C 2 F ∙ d r + ∫ C 3 F ∙ d r + ∫ C 4 F ∙ d r

Então

I = 1 + ln ⁡ 2 + - 1 + ln ⁡ 2

I = ln ⁡ 2 + ln ⁡ 2

I = 2 ln ⁡ 2

Resposta

I = 2 ln ⁡ 2

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