Exercícios Resolvidos de Caso Vetorial no R²

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Enunciado

Seja

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 y

um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo da curva C 1 , orientada no sentido anti-horário, onde:

C 1 é a circunferência de equação x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Bom, vamos começar parametrizando essa curva C 1 . Como se trata de uma circunferência, vamos usar coordenadas polares com r = 2 :

r t = ( 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t )

Onde 0 ≤ t ≤ 2 π (porque o sentido é anti-hórário).

Passo 2

Agora calculamos r → ' t :

r → ' t = d ( 2 cos ⁡ t ) d t ,   d ( 2 s e n   t ) d t = ( - 2   s e n   t ,   2 cos ⁡ t )

Passo 3

Vamos, então, usar a fórmula

∫ C 1   F x , y , z ⋅ d r = ∫ a b F x t ,   y t ⋅ r → ' t d t

O campo é dado por

F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 y

Aplicando a parametrização, temos

F x t , y t = - 2   s e n   t 4 , 2   cos ⁡ t 4 + 6   s e n   t

F x t , y t = - 1 2 s e n   t , 1 2 cos ⁡ t + 6   s e n   t

Substituindo então na integral, temos

∫ C 1   F x , y , z ⋅ d r = ∫ 0 2 π - 1 2 s e n   t , 1 2 cos ⁡ t + 6   s e n   t . ( - 2   s e n   t ,   2 cos ⁡ t ) d t

= ∫ 0 2 π s e n 2 t + cos 2 ⁡ t + 12 s e n   t cos ⁡ t d t =

= ∫ 0 2 π 1   + 12 s e n   t cos ⁡ t d t =

Passo 4

Finalmente, calculamos a integral

= t + 6   s e n 2 t 0 2 π =

= 2 π

Resposta

2 π

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