Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

USP, Cálculo 3, P1 - 2012, Questão 1b

Calcular a massa do sólido limitado por y 2 - x , y 2 + x e x 2 + y 2 + z 2 4 , de densidade δ x , y , z = 4 - x 2 - y 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região R em que o sólido está contido, temos que:

M = R   δ x , y , z d V

M = W   4 - x 2 - y 2   d x d y d z

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Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera de raio 2 , dada por x 2 + y 2 + z 2 = 4 e as superfícies y = 2 - x e y = 2 + x . Depois nos preocupamos com os sinais.

Para trabalhar com módulos, temos que pensar da seguinte forma: de o número é positivo ou nulo, então n = n , se for negativo, n = - n .

Assim, podemos separar cada uma dessas equações com módulos em duas:

y = 2 - x = y = 2 - x ,           y 0 y = - 2 + x ,           y < 0

y 2 = y = 2 + x ,               y 0 y = - 2 - x ,           y < 0

Ok? Temos vários planos então, não é? Vamos desenhar isso tudo.

Como todos os planos são perpendiculares ao plano x y (só possuem essas duas variáveis na equação), vamos desenhar a região vista de cima para ficar mais fácil. Ou seja, esses plano viram retas.

Pensando no primeiro par de planos, temos y = 2 - x , como o coeficiente de x é negativo, sabemos que a inclinação da reta é para a esquerda. Quando x = 0 , y = 2 , logo, a reta corta o eixo y em y = 2 . Para fazer a outra reta y = - 2 + x , podemos só espelhar essa que fizemos em relação ao eixo x , pois elas são simétricas, tem o mesmo formato, porém sinal contrário de y . Ou você pode seguir o mesmo raciocínio que fizemos para a primeira reta. Assim temos esse par de retas verdes que está aí embaixo.

Para o outro par de retas, basta seguir o mesmo pensamento. Por exemplo y = 2 + x tem coeficiente de x positivo, logo, a reta é inclinada para a direita, cortando o eixo y em y = 2 . Espelhando essa reta, temos esse par de retas azuis, na figura abaixo.

Como podemos ver, a esfera de raio 2 , vista de cima, é esse círculo de raio 2 em vermelho.

Agora que deu para a gente entender o que está acontecendo, vamos desenhar no 3 D :

É isso aqui o que temos. Agora chegou a hora de vermos os sinais. Temos x 2 + y 2 + z 2 4 , logo, queremos o que está dentro da esfera. Para os planos, temos y 2 - x e y 2 + x . Como temos “módulo menor ou igual a alguma coisa”, queremos tudo o que tem valor absoluto de y menor ou igual ao do plano, portanto, dentro dessa região limitada pelos quadro planos. Sacou?

Então, nossa região é o o que está dentro da esfera e dentro da região limitada pelos planos, portanto, a esfera sem essas calotas que o planos cortaram.

Passo 3

Tá, antes de continuarmos, vamos fazer uma observação importante. Olha de novo a região vista de cima:

Nossa região é o que está dentro do quadrado. Reparou que temos muita simetria aí, né? Podemos dividir essa região em 4 partes e calcular apenas a massa de uma dessas partes. Depois, é claro, mutiplicamos por 4 o resultado.

Mas podemos mesmo fazer isso? A função densidade varia. Podemos porque em δ x , y , z = 4 - x 2 - y 2 tanto o x como o y estão elevados ao quadrado, assim: δ x , y , z = δ - x , y , z = δ - x , - y , z = δ x , - y , z

Ou seja, em todos os quadrantes a distribuição da função densidade é a mesma.

Pera, reparou que δ independe de z ? Não temos z na sua expressão. Isso significa que podemos dividir mais ainda a região, nos 8 diedros. É como se tivéssemos 4 partes de massa igual para o z positivo e 4 para o z negativo.

Então, chamando de M 1 a massa da parte do sólido que está no octante com x , y e z > 0 , temos:

M = 8 M 1 = 8 W 1   4 - x 2 - y 2   d x d y d z

Ou seja, vamos calcular a massa desse pedaço aqui:

Passo 4

Vamos agora escrever matematicamente essa região. Como podemos ver pela figura, z varia entre z = 0 e a superfície da esfera, logo, z 0 4 - x 2 - y 2 . No plano x y , temos como domínio uma região R que, como podemos ver, é um triângulo. Depos nois preocupamos com R , ok?

M = 8 M = 8 W 1   4 - x 2 - y 2   d x d y d z = 8 R   0 4 - x 2 - y 2 4 - x 2 - y 2 d z d x d y

M = 8 R   z 4 - x 2 - y 2 0 4 - x 2 - y 2 d x d y

M = 8 R   4 - x 2 - y 2 d x d y

Passo 5

Agora vamos escrever essa região R .

Escrevendo como região do tipo I, temos y entre y = 0 e a reta y = 2 - x , ou seja 0 y 2 - x e 0 x 2 (como já vimos, as retas cortam os eixos em x = ± 2 e y = ± 2 ). Isso nos dá:

M = 8 0 2 0 2 - x 4 - x 2 - y 2 d y d x

Passo 6

Agora vamos resolver isso aí

M = 8 0 2 4 - x 2 y - y 3 3 0 2 - x d x

M = 8 0 2 4 - x 2 2 - x - 2 - x 3 3 d x

M = 8 0 2 4 - x 2 2 - x - 2 - x 3 3 d x

M = 32 3 0 2 x 3 - 3 x 2 + 4 d x

M = 32 3 x 4 4 - x 3 + 4 x 0 2

M = 128 3

Resposta

128 3

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