Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

Coordenadas esféricas

Calcule a massa do sólido S limitado por z ≤ 2 a   ( a > 0 ) , x 2 + y 2 + z 2 ≥ a 2 e z 2 ≥ x 2 + y 2 , com densidade δ x , y , z = 1 x 2 + y 2 + z 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = ∭ W   δ x , y , z d V

M = ∭ W   1 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera de raio a centrada na origem, um plano paralelo ao plano x y com z = 2 a , portanto, acima da esfera. Temos também um cone com simetria em z :

Queremos a região que está fora da esfera, abaixo do plano a acima do cone:

Beleza?

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera, um cone e um plano, vamos utilizar coordenadas esféricas:

u = ρ   s e n   φ   c o s   θ

v = ρ   s e n   φ   s e n   θ

w = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 ≤ θ ≤ 2 π . O ângulo φ , como podemos ver, vai desde φ = 0 (no eixo z ) até a superfície do cone, então vamos fazer a mudança esférica na sua equação:

( ρ cos ⁡ φ ) 2 = ( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2

ρ 2 cos 2 ⁡ φ = ρ 2   s e n 2   φ

t g   φ = 1

φ = π 4

Logo, 0 ≤ φ ≤ π / 4 . Agora vamos ver o intervalo de ρ .

Como vemos na figura, o raio vai desde a esfera, onde ρ = a até o plano. Vamos então fazer a mudança esféria no plano:

z = ρ cos ⁡ φ = 2 a

ρ = 2 a cos ⁡ φ

Portanto, a ≤ ρ ≤ 2 a cos ⁡ φ . Então, região será escrita como:

W = ρ , θ , φ 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π 4 ;   a ≤ ρ ≤ 2 a cos ⁡ φ

Passo 5

Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:

M = ∭ W   1 x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 1 2 a / cos ⁡ φ 1 ρ 2 ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ a 2 a / cos ⁡ φ s e n   φ   d ρ d θ d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π s e n   φ   ρ   a 2 a / cos ⁡ φ d θ d φ =

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π 2 a   s e n   φ cos ⁡   φ - a   s e n   φ   d θ d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 2 π ∫ 0 π / 4 2 a   s e n   φ cos ⁡   φ - a   s e n   φ   d φ =

Passo 8

Agora vamos integrar em relação a φ :

= 2 π a ∫ 0 π / 4 2   s e n   φ cos ⁡   φ   d φ + cos ⁡ φ 0 π / 4 =

= 2 π a ∫ 0 π / 4 2   s e n   φ cos ⁡   φ   d φ + 2 2 - 1 =

Agora, nessa integral que restou, podemos fazer a substituição:

cos ⁡ φ = u

- s e n   φ   d φ = d u  

φ = 0           →         u = 1

φ = π 4             →           u = 2 2

Levando para a integral:

= 2 π a ∫ 1 2 2 2 u d u   + 2 2 - 1 =

= 2 π a - 2 ln ⁡ u 1 2 2 + 2 2 - 1 =

= 2 π a - 2 ln ⁡ 2 2 + 2 2 - 1 =

= 2 π a 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 + 2 2 - 1 =

= 2 π a 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 2 2 + 2 2 - 1 =

= 2 π a ln ⁡ 2 + 2 2 - 1

Resposta

2 π a ln ⁡ 2 + 2 2 - 1

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