Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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Enunciado

Calcule a massa do sólido que é parte da bola x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4 , acima do cone z = 1 3 ( x 2 + y 2 ) e abaixo do cone z = x 2 + y 2 , com densidade δ x , y , z = z .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = ∭ W   δ x , y , z d V

M = ∭ W   z   d x d y d z

Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4 de raio 2 deslocada da origem em z , ou seja, com centro em ( 0,0 , 2 ) . Temos também dois cones: z = 1 3 ( x 2 + y 2 ) e z = x 2 + y 2 . Para desenhar eles, você precisa notar que o primeiro tem uma abertura maior do que o segundo, pois, pensando em coordenadas cilíndricas, temos z = 1 3 r e z = r (logo, para um mesmo r , o z do primeiro é menor).

Então, desenhando essas três superfícies, temos:

O problema pede o sólido que é parte da bola x 2 + y 2 + z - 2 2 ≤ 4 , está acima do cone z = 1 3 ( x 2 + y 2 ) (de abertura maior) e abaixo do cone z = x 2 + y 2 (de abertura menor).

Cortando, temos isso aqui:

Show?

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

O raio varia desde a origem, onde ρ = 0 até a superfície da esfera. Como a esfera não está centrada na origem, precisamos fazer a mudança de coordenadas na sua equação para descobrir a expressão de ρ :

( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 + ρ cos ⁡ φ - 2 2 = 4

ρ 2 s e n 2 φ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ - 4 ρ cos ⁡ φ + 4 = 4

ρ 2 - 4 ρ cos ⁡ φ = 0

ρ = 4 cos ⁡ φ

Logo, temos 0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ .

Como temos uma volta completa em torno do eixo z , temos 0 ≤ θ ≤ 2 π .

E o ângulo φ , como vemos pela figura, varia desde a superfície de um cone até a do outro. Então vamos fazer a mudança esférica nos dois cones:

z = 1 3 ( x 2 + y 2 )

ρ cos ⁡ φ = 1 3 ( ( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 )

ρ cos ⁡ φ = 1 3 ρ 2 s e n 2 φ

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n   φ 1 3

t g   φ = 3

φ = π 3

ρ cos ⁡ φ = ( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 s e n 2 φ

ρ cos ⁡ φ = ρ   s e n   φ

φ = π 4

Logo,   π / 4 ≤ φ ≤ π / 3 . Assim, temos a região:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ θ ≤ 2 π ; π / 4 ≤ φ ≤ π / 3 ;   0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ φ ) }

Passo 5

Vamos agora (finalmente) fazer a substituição esférica na integral:

M = ∭ W   z   d x d y d z

= ∫ π / 4 π / 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 cos ⁡ φ ρ cos ⁡ φ ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= ∫ π / 4 π / 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 4 cos ⁡ φ ρ 3 s e n   φ cos ⁡ φ   d ρ d θ d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a ρ :

= ∫ π / 4 π / 3 ∫ 0 2 π ρ 4 4 s e n   φ cos ⁡ φ 0 4 cos ⁡ φ d θ d φ =

= 64 ∫ π / 4 π / 3 ∫ 0 2 π s e n   φ cos 5 ⁡ φ d θ d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 128 π ∫ π / 4 π / 3 s e n   φ cos 5 ⁡ φ d φ =

Passo 8

Agora, vamos fazer a substituição:

cos ⁡ φ = u

- s e n   φ = d u

φ = π 4                 →             u = 2 2

φ = π 3                 →             u = 1 2

Levando isso para a integral, temos:

= - 128 π ∫ 2 / 2 1 / 2 u 5 d u =

= - 128 π u 6 6   2 / 2 1 / 2 =

= - 64 π 3 1 64 - 8 64 =

= 7 π 3

Resposta

7 π 3

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