Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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Enunciado

Calcule a massa do solido E = { x , y , z : x 2 + y 2 + z 2 ≤ b 2 ,   z ≥ a > 0 } , com a < b e ∂ x , y , z = z .

Passo 1

Olá meu caro colega, pronto para calcularmos a massa de um solido? Sim, sim, isso é bem possível e para tal feito iremos utilizar das nossas queridas amigas integrais triplas. Para facilitar nossas vidas iremos parametrizar esse solido,

x = ρ sin ⁡ α cos ⁡ θ y = ρ sin ⁡ α cos ⁡ θ z = ρ cos ⁡ θ

J = ρ 2 sin ⁡ α

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ α ≤ cos - 1 ⁡ a b

0 ≤ ρ ≤ b

O que temos é que queremos apenas a região superior da esfera que representa o nosso solido pois z ≥ 0

Passo 2

Jogando na nossa integral a parametrização, se atentando aos intervalos

m = ∫ ∫ ∫ D   z d x d y d z

= ∫ 0 2 π ∫ 0 cos - 1 ⁡ a b ∫ 0 b p cos ⁡ α p 2 s i n α d p d α d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 cos - 1 ⁡ a b cos ⁡ α s i n α ρ 4 4 0 b d α d θ

= b 4 8 ∫ 0 2 π ∫ 0 cos - 1 ⁡ a b sin ⁡ 2 α d α d θ

= - b 4 16 ∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ α - 1 0 cos - 1 ⁡ a b d θ

= - b 4 16 ∫ 0 2 π 2 a 2 b 2 - 1 - 2 - 1 d θ

= - b 4 8 ∫ 0 2 π a 2 b 2 - 1 d θ

= - b 4 4 a 2 b 2 - 1 π

= π ( - a 2 b 2 + b 4 ) 4

Resposta

= π ( - a 2 b 2 + b 4 ) 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a massa e o centro de massa do sólido dado E com função densidade dada ρ . E é o tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,y = 0 ,z = 0 ,x + y + z = 1 ρ x , y , z = y
Utilize coordenadas esféricas.Determine o centroide do sólido do exercício 25.
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Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.O sólido do exercício 19; ρ x , y , z = x 2 + y 2
Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,z ≥ 0 ; ρ x , y , z = x 2