Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

USP, Cálculo 3, P-SUB - 2015, Questão 1

Calcule a massa da região x 2 + y 2 + z - 1 2 2 , z 0 com função densidade δ x , y , z = 2 + z .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = W   δ x , y , z d V

M = W   2 + z   d x d y d z

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Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera de raio 2 centrada em ( 0,0 , 1 ) :

A região do problema é o que está dentro da esfera e acima do plano z = 0 , beleza?

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 s e n   φ

Na verdade, para facilitar um pouco a vida, vamos usar coordenadas esféricas deslocadas, ok?

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ + 1

J = ρ 2 s e n   φ

Assim, o centro das coordenadas é o centro da esfera, isso vai nos ajudar bastante.

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Como nós deslocamos as coordenadas para o centro da esfera, ela passa a ser escrita como ρ = r a i o , no caso:

ρ = 2

Você pode verificar isso fazendo a mudança esférica na sua equação!

x 2 + y 2 + z - 1 2 2

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ + 1

O termo - 1 da equação vai ser cancelado pelo + 1 da mudança esférica.

Bom, como se trata da esfera inteira, 0 θ 2 π ; 0 φ π , o que nos dá:

W 1 = ρ , θ , φ 0 θ 2 π ; 0 φ π ;   0 ρ 2

Passo 5

Opa, mas ta faltando uma coisa né? Só queremos a parte z 0 ! O que podemos fazer então é achar o valor da integral na parte onde z < 0 e aí diminuir um do outro! (sim, isso é mais fácil do que achar direto o valor da parte z 0 , acredite haha).

Vamos começar achando os limites do nosso raio! Para isso vamos igualar z a zero:

z = ρ cos φ + 1 = 0

ρ = - 1 cos φ

Como queremos pegar toda a área abaixo de z = 0 , esse é nosso limite inferior e ficamos com:

- 1 cos φ ρ 2

Aí você pode pensar, “ué, então o ρ pode ser negativo? Se ele é o raio não consideramos só valores positivos?” Pois ai eu te falo que - 1 cos φ vai ser positivo!

Vamos dar uma olhada nos limites de φ pra perceber isso! O limite superior dele vai ser o π de sempre. E o inferior vai ser onde o plano corta a esfera:

ρ = - 1 cos φ = 2

cos φ = - 1 2

φ = 3 π 4

Logo,

3 π 4 φ π

E nesse intervalo de φ , cos φ < 0 ! Por isso o - 1 cos φ vai ser sempre positivo ;)

E claro, o θ vai ir de 0 a 2 π mesmo. Então ficamos com:

W 2 = ρ , θ , φ 0 θ 2 π ; 3 π 4 φ π ;   - 1 cos φ ρ 2

Passo 6

Vamos temos fazer a substituição esférica na integral:

M = W   2 + z   d x d y d z = W 1   2 + z   d x d y d z - W 2   2 + z   d x d y d z

W 1   2 + z   d x d y d z = 0 π 0 2 π 0 2 2 + ρ cos φ + 1 ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= 0 π 0 2 π 0 2 ρ 3 s e n   φ cos φ + 3 ρ 2 s e n   φ d ρ d θ d φ

W 2   2 + z   d x d y d z = 3 π 4 π 0 2 π - 1 cos φ 2 ρ 3 s e n   φ cos φ + 3 ρ 2 s e n   φ d ρ d θ d φ

Passo 7

Vamos resolver primeiro a integral em W 1 . Integrando em relação a ρ :

= 0 π 0 2 π ρ 4 4 s e n   φ cos φ + ρ 3 s e n   φ 0 2 d θ d φ =

= 0 π 0 2 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ d θ d φ

Passo 8

Agora em relação a θ :

= 2 π 0 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ   d φ

Passo 9

Agora vamos integrar em relação a φ :

= 2 π 1 2 s e n 2   φ - 2 2 cos φ   0 π =

= 2 π 0 + 2 2 - 0 - 2 2 =

= 8 π 2

Passo 10

Agora é a vez da integral em W 2 . Integrando em ρ :

= 3 π 4 π 0 2 π ρ 4 4 s e n   φ cos φ + ρ 3 s e n   φ - 1 cos φ 2 d θ d φ =

= 3 π 4 π 0 2 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ - s e n   φ cos φ 4 cos 4 φ + s e n   φ cos 3 φ d θ d φ =

= 3 π 4 π 0 2 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ + 3 s e n   φ 4 cos 3 φ d θ d φ =

Integrando em θ :

= 2 π 3 π 4 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ + 3 s e n   φ 4 cos 3 φ   d φ =

= 2 π 3 π 4 π s e n   φ cos φ d φ + 3 π 4 π 2 2 s e n   φ d φ + 3 4 3 π 4 π s e n   φ cos 3 φ d φ

Quebrando isso aí pra facilitar:

3 π 4 π s e n   φ cos φ d φ = 1 2 s e n 2   φ   3 π 4 π = 0 - 1 2 2 2 2 = - 1 4

3 π 4 π 2 2 s e n   φ d φ = - 2 2 cos φ   3 π 4 π = 2 2 + 2 2 - 2 2 = 2 2 - 2 = 2 2 - 1

A última! Calma que ta acabando!

3 4 3 π 4 π s e n   φ cos 3 φ d φ = 3 4 - 2 2 - 1 - d u u 3 = 3 4 1 2 u 2 - 2 2 - 1 = 3 4 1 2 - 1 = - 3 8

u = cos φ

d u = - s e n   φ   d φ

u = cos π = - 1

u = cos 3 π 4 = - 2 2

Juntando tudo:

2 π 3 π 4 π s e n   φ cos φ + 2 2 s e n   φ + 3 s e n   φ 4 cos 3 φ d φ =

= 2 π - 1 4 + 2 2 - 1 - 3 8 =

= π 4 2 - 21 4

Passo 11

Só lembrando caso você tenha esquecido (porque essa questão foi enorme), nosso objetivo aqui é calcular a massa daquela porção de esfera. Agora finalmente temos todas as informações que precisamos:

M = W   2 + z   d x d y d z = W 1   2 + z   d x d y d z - W 2   2 + z   d x d y d z =

8 π 2 - π 4 2 - 21 4 = π 4 2 + 21 4

Resposta

π 4 2 + 21 4

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