Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

USP, Cálculo 3, P1 - 2013, Questão 2b

Calcule a massa da região limitade pelo cone z x 2 + y 2 e pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 z , sabendo que a densidade é dada por δ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região R em que o sólido está contido, temos que:

M = R   δ x , y , z d V

M = W   x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

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Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Vamos reescrever essa equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 - 2 z = 0

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1

Pronto, temos uma esfera centrada em ( 0,0 , 1 ) .

Como o cone está expresso na forma z = x 2 + y 2 e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z 0 . Temos, então, essa região da figura.

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen φ c o s   θ

y = ρ   sen φ sen θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 sen φ

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 θ 2 π , pois o sólido está envolta do eixo z ,fazendo uma volta completa. Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

ρ sen φ cos θ 2 + ρ sen φ sen θ 2 + ρ cos φ 2 = 2 ρ cos φ

ρ 2 sen 2 φ cos 2 θ + ρ 2 sen 2 φ sen 2 θ + ρ 2 cos 2 φ = 2 ρ cos φ

ρ 2 sen 2 φ   + ρ 2 cos 2 φ = 2 ρ cos φ

ρ = 2 cos φ

Temos, então, 0 ρ 2 cos φ

Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos ρ = ( n ú m e r o ) para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , quando φ = 0 até a superfície do cone, então vamos escrever sua equação em coordenadas esféricas:

ρ cos φ = ρ sen φ cos θ 2 + ρ sen φ sen θ 2

ρ cos φ = ρ 2 sen 2 φ cos 2 θ + ( ρ 2 sen 2 φ )   sen 2 θ

ρ cos φ = ρ 2 sen 2 φ   = ρ sen φ

sen φ = cos φ   tg φ = 1     φ = π / 4

Portanto, 0 φ π / 4 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 φ π / 4 ; 0 θ 2 π ;   0 ρ 2 cos φ   }

Passo 5

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

M = W   x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

= 0 π / 4 0 2 π 0 2 cos φ ρ . ρ 2 sen φ d ρ   d θ   d φ =

= 0 π / 4 0 2 π 0 2 cos φ ρ 3 sen φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 6

Agora integraremos em relação a ρ :

= 0 π / 4 0 2 π ρ 4 4 sen φ 0 2 cos φ   d θ   d φ =

= 4 0 π / 4 0 2 π cos 4 φ sen φ   d θ   d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 8 π 0 π / 4 cos 4 φ sen φ     d φ =

Passo 8

Finalmentre, em relação a φ :

= - 8 5 π cos 5 φ 0 π 4 =

= - 8 π 5 2 2 5 - 1 =

= π 5 8 - 2 =

Resposta

π 5 8 - 2

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