Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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Enunciado

Calcule a massa da região limitade pelo cone z ≥ x 2 + y 2 e pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 z , sabendo que a densidade é dada por δ x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região R em que o sólido está contido, temos que:

M = ∭ R   δ x , y , z d V

M = ∭ W   x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Vamos reescrever essa equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 - 2 z = 0

x 2 + y 2 + z - 1 2 = 1

Pronto, temos uma esfera centrada em ( 0,0 , 1 ) .

Como o cone está expresso na forma z = x 2 + y 2 e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z ≥ 0 . Temos, então, essa região da figura.

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ φ c o s   θ

y = ρ   sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , pois o sólido está envolta do eixo z ,fazendo uma volta completa. Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ cos ⁡ φ

ρ = 2 cos ⁡ φ

Temos, então, 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ⁡ φ

Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos ρ = ( n ú m e r o ) para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , quando φ = 0 até a superfície do cone, então vamos escrever sua equação em coordenadas esféricas:

ρ cos ⁡ φ = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 sen 2 ⁡ φ )   sen 2 ⁡ θ

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 sen 2 ⁡ φ   = ρ sen ⁡ φ

sen ⁡ φ = cos ⁡ φ   → tg ⁡ φ = 1   →   φ = π / 4

Portanto, 0 ≤ φ ≤ π / 4 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ φ ≤ π / 4 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   0 ≤ ρ ≤ 2 cos ⁡ φ   }

Passo 5

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

M = ∭ W   x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 cos ⁡ φ ρ . ρ 2 sen ⁡ φ d ρ   d θ   d φ =

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 cos ⁡ φ ρ 3 sen ⁡ φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 6

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ρ 4 4 sen ⁡ φ 0 2 cos ⁡ φ   d θ   d φ =

= 4 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ φ sen ⁡ φ   d θ   d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 8 π ∫ 0 π / 4 cos 4 ⁡ φ sen ⁡ φ     d φ =

Passo 8

Finalmentre, em relação a φ :

= - 8 5 π cos 5 ⁡ φ 0 π 4 =

= - 8 π 5 2 2 5 - 1 =

= π 5 8 - 2 =

Resposta

π 5 8 - 2

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