Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

USP, Cálculo 3, P1 - 2011, Questão 3

Calcule a massa do sólido limitado por z 3 = x 2 + y 2 e z 4 = x 2 + y 2 com densidade δ x , y , z = x 2 + y 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = W   δ x , y , z d V

M = W   x 2 + y 2 d x d y d z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora precisamos escrever essa região de integração. Temos duas superfícies com equações parecidas limitando W :

z 3 = x 2 + y 2

z 4 = x 2 + y 2

Vamos descobrir onde elas se encontram:

x 2 + y 2 = z 3 = z 4

Para a equação z 3 = z 4 ser satisfeita, z = 0 ou z = 1 . Logo, sabemos que as superfícies se encontram nesses dois valores de z . Para W , então, 0 z 1 .

Ok, de que isso nos adianta?

Percebeu que a questão tem o termo “ x 2 + y 2 ” algumas vezes? Isso quer dizer que usar coordenadas cilíndricas pode ser uma boa, pois esse termo vira r 2 em coordenadas cilíndricas, lembra? Vamos fazer:

x = r cos θ

y = r   s e n   θ

z = z

J = r

As equações das superfícies viram, então:

z 3 = r 2                     r = z 3 / 2

z 4 = r 2                       r = z 2

Beleza. Como r vai desde uma superfície até a outra, podemos escrever:

z 2 r z 3 / 2

Como não temos mais nenhuma outra restrição, 0 θ 2 π . Podemos escrever a região W como:

W = ( r , θ , z ) | 0 θ 2 π ,   z 2 r z 3 / 2 , 0 z 1

Passo 3

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral:

M = W   x 2 + y 2 d x d y d z = 0 1 z 2 z 3 / 2 0 2 π r 2 r d θ d r d z

= 0 1 z 2 z 3 / 2 0 2 π r 3 d θ d r d z =

Passo 4

Integrando em relação a θ , temos:

= 2 π 0 1 z 2 z 3 / 2 r 3 d r d z =

Passo 5

Agora em relação a r :

= π 2 0 1 r 4 z 2 z 3 / 2 d z =

= π 2 0 1 z 6 - z 8 d z =

Passo 6

Finalmente, em relação a z :

= π 2 z 7 7 - z 9 9 0 1 =

= π 2 1 7 - 1 9 =

= π 63

Resposta

π 63

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