Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

USP, Cálculo 3, P1 - 2014, Questão 3

Calcule a massa do sólido dado por:

u 2 + v 2 + w 2 1

u 3 v 2 + 3 w 2

u 4

Tal que w 0 e com densidade δ u , v , w = 1 u 2 + v 2 + w 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ u , v , w . Nós sabemos que:

d m =   δ u , v , w d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = W   δ u , v , w d V

M = W   1 u 2 + v 2 + w 2 d u d v d w

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera de raio 1 centrada na origem e um cone com eixo de simetria em u (que fica no lugar do eixo x , que estamos acostumados a ver).

Para você saber qual o eixo de simetria do cone, basta você olhar para sua equação e encontrar o termo “diferente”, no caso, é o u que tem sinal contrário a v e a w (fica do outro lado da equação). Em geral, temos o z isolado, porque o eixo de simetria costuma ser esse.

Beleza, temos isso aqui:

Nossa região é a que está dentro do cone e fora da esfera. Não podemos nos esquecer também que o problema diz que w > 0 e que u < 4 , portanto, temos isso aqui:

Beleza?

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

u = ρ   s e n   φ   c o s   θ

v = ρ   s e n   φ   s e n   θ

w = ρ cos φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Vamos começar pelo raio. Pela figura, sabemos que ρ varia desde a superfície da esfera ρ = 1 até a do plano u = 4 . Temos, então, que escrever esse plano em coordenadas esféricas:

u = ρ   s e n   φ   c o s   θ = 4

ρ = 4 s e n   φ   c o s   θ

Nossa, isso aí vai ser péssimo para colocarmos na integral depois, não é? Sem condições. Ok, e agora?! Vamos pensar um pouco.

Senta, que agora a coisa ficou séria.

Se você reparar, as coordenadas esféricas são definidas com uma certa simetria em relação ao eixo w (que costumamos chamar de z ). Como assim? O ângulo θ é medido em torno desse eixo e o ângulo φ , a partir desse eixo. Por isso, quando temos um plano (paralelo a u v ) deslocado em w , sua equação não fica tão complicada como quando está deslocado nos outros eixos. O mesmo vai acontecer para o cone.

Partindo dessa ideia, podemos, então, fazer uma mudança esférica diferente, atribuindo ( ρ cos φ ) não ao eixo z , mas ao eixo de simetria da região, no caso, o eixo u . Teremos, então:

v = ρ   s e n   φ   c o s   θ

w = ρ   s e n   φ   s e n   θ

u = ρ cos φ

J = ρ 2 s e n   φ

Bom, como a equação da esfera é u 2 + v 2 + w 2 = 1 , tanto faz a definição de u , v e w , vamos continuar tendo ρ = 1 . Agora, para as outras superfíces a coisa muda.

Vamos começar pelo plano:

u = ρ cos φ = 4

ρ = 4 cos φ

Já melhorou, né? Sabemos, então, que 1 ρ 4 cos φ .

Agora vamos analisar o ângulo φ . Lembra que ele era marcado em relação ao eixo w ? (que chamamos de z ). Como “trocamos” esse eixo com o u , agora o φ vai ser marcado em relaçao a u . Não tá entendendo nada? Respira. Calma que a gente te ajuda! Vamos ver essa região desse jeito aqui:

Esquece o nome dos eixos. Podemos ver que φ vai desde 0 até a superfície do cone, não é? Então vamos fazer a mudançar polar na equação do cone:

u 3 v 2 + 3 w 2

ρ cos φ 3 ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ 2

ρ cos φ 3 ρ   s e n   φ

t g   φ = 3 3

φ = π 6

Portanto, 0 φ π / 6 . Pela figura acima, vemos também que 0 θ π . Então, região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 θ π ; 0 φ π / 6 ;   1 ρ 4 / cos φ }

Passo 5

Vamos agora (finalmente) fazer a substituição esférica na integral:

M = W   1 u 2 + v 2 + w 2 d u d v d w

= 0 π / 6 0 π 1 4 / cos φ 1 ρ 2 ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= 0 π / 6 0 π 1 4 / cos φ ρ s e n   φ   d ρ d θ d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a ρ :

= 1 2 0 π / 6 0 π ρ 2 s e n   φ 1 4 / cos φ d θ d φ =

= 1 2 0 π / 6 0 π 16 s e n   φ cos 2 φ - s e n   φ   d θ d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 1 2 0 π / 6 16 s e n   φ cos 2 φ - s e n   φ θ 0 π d φ =

= π 2 0 π / 6 16 s e n   φ cos - 2 φ - s e n   φ d φ =

Passo 8

Agora vamos integrar em relação a φ :

= π 2 16 cos - 1 φ + cos φ 0 π / 6 =

= π 2 16.2 3 + 3 2 - 16 - 1 =

= π 67 3 - 102 12 =

Resposta

π 67 3 - 102 12

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