Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

USP, Cálculo 3, P1 - 2012, Questão 3

Calcule massa do sólido limitado por x 2 + y 2 + z 2 2 e x 2 + y 2 ( 2 - z ) , de densidade δ x , y , z = z x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 .

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = W   δ x , y , z d V

M = W   z x 2 + y 2 + z 2 5 / 2 d x d y d z

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Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 , de raio 2 e a superfície x 2 + y 2 = ( 2 - z ) , que é um cone com centro deslocado no eixo z , no caso, para o ponto ( 0,0 , 2 ) . Portanto, isso aqui:

E a região do problema é aquela que está fora da esfera, por causa do sinal > em x 2 + y 2 + z 2 2 e abaixo do cone, pelo sinal < em x 2 + y 2 2 - z . Show?

Obs: temos só a folha debaixo do cone porque a equação e x 2 + y 2 = ( 2 - z ) nos dá a condição 2 - z 0 , logo, z 2 . Isso porque a raiz tem que ser não nula.

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos φ

J = ρ 2 s e n   φ

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Vamos começar pelo raio. Pela figura, sabemos que ρ varia desde a superfície da esfera ρ = 2 até o cone. Então, vamos fazer a mudança esférica na equação do cone:

x 2 + y 2 = 2 - z

( ρ   s e n   φ   c o s   θ ) 2 + ( ρ   s e n   φ   s e n   θ ) 2 = ( 2 - ρ cos φ )

ρ 2 s e n 2 θ = ( 2 - ρ cos φ )

ρ   s e n   φ = 2 - ρ cos φ

ρ = 2 s e n   φ + cos φ

Certo, então temos 2 ρ 2 s e n   θ + cos θ . Como temos uma volta completa em torno do eixo z , 0 θ 2 π . Agora vamos pensar no ângulo φ .

Sabemos que ele vai desde zero (o que ocorre no eixo z até o ponto em que o cone corta a esfera. Vamos desenhar uma seção dessa região para entender melhor:

Em vermelho, temos uma seção da esfera no plano x z , em verde, temos uma seção do cone. Como falamos no início da questão, o z máximo do cone é z = 2 e ocorre quando seu raio é nulo. Dá para ver isso pela equação x 2 + y 2 ( 2 - z ) . Agora e esse ponto onde ele corta o eixo x ? Esse é o raio do cone quando ele corta o plano x y , não é? Ou seja, quando z = 0 . Fazendo z = 0 na equação do cone, temos x 2 + y 2 = 4 , logo, esse raio é 2 , como está na figura. Ok, guarde essa informação.

Marcamos na figura, em cinza, a seção da região do problema, que está abaixo do cone e fora da esfera. Assim, podemos ver a variação do ângulo φ dessa região, que está marcada em azul.

Como já falamos, φ vai de zero até o ângulo onde as superfícies se cortam. Se você reparar, temos um triângulo retângulo isósceles com lados iguais de tamanho 2 (tanto na esquerda como na direita). Sendo assim, essa reta azul, que é perpendicular à verde, é uma bissetriz do ângulo 90 ° , formado entre os eixos x e z . Ou seja, esse ângulo marcado em azul é 45 ° .

Assim, podemos dizer, para a nossa região, que 0 φ π / 4 .

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 θ 2 π ; 0 φ π / 4 ;   2 ρ 2 / ( s e n   φ + cos φ ) }

Passo 5

Vamos agora (finalmente) fazer a substituição esférica na integral:

M = W   z x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z

= 0 π / 4 0 2 π 2 2 / ( s e n   φ + cos φ ) ρ cos φ ρ 2 5 / 2 ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= 0 π / 4 0 2 π 2 2 / ( s e n   φ + cos φ ) s e n   φ cos φ ρ 2 d ρ d θ d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a ρ :

= 0 π / 4 0 2 π - 1 ρ s e n   φ cos φ 2 2 / ( s e n   φ + cos φ ) d θ d φ =

= 1 2 0 π / 4 0 2 π ( 2 - s e n   φ - cos φ ) s e n   φ cos φ d θ d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 1 2 0 π / 4 θ ( 2 - s e n   φ - cos φ ) s e n   φ cos φ 0 2 π d φ =

= π 0 π / 4 ( 2 - s e n   φ - cos φ ) s e n   φ cos φ d φ =

= 2 π 0 π / 4 s e n   φ cos φ d φ - π 0 π 4 s e n 2   φ cos φ d φ - π 0 π / 4 s e n   φ cos 2 φ d φ =

Passo 8

Vamos resolver a primeira integral, fazendo

s e n   φ = u

cos φ d φ = d u

φ = 0                 u = 0

φ = π / 4                 u = 2 / 2

= 2 π 0 π / 4 s e n   φ cos φ d φ =

= 2 π 0 2 / 2 u d u =

= 2 π 2 u 2 0 2 / 2 =

= 2 π 4

Agora precisamos fazer a mesma substituição para a segunda integral:

s e n   φ = u

cos φ d φ = d u

φ = 0                 u = 0

φ = π / 4                 u = 2 / 2

= π 0 π 4 s e n 2   φ cos φ d φ =

= π 0 2 / 2 u 2 d u =

= π u 3 3 0 2 / 2 =

= π 2 12

E essa para a terceira:

cos   φ = u

- sen φ d φ = d u

φ = 0                 u = 1

φ = π / 4                 u = 2 / 2

= π 0 π / 4 s e n   φ cos 2 φ d φ =

= - π 1 2 / 2 u 2 d u =

= - π 3 u 3 1 2 / 2 =

= π 3 - π 2 12

Ok, agora vamos juntar isso tudo:

M = 2 π 4 - π 2 12 - π 3 - π 2 12

M = π ( 3 2 - 4 ) 12

Resposta

π ( 3 2 - 4 ) 12

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