Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

UFF, Cálculo IIIA, Listas GMA - Lista 2, Questão 22

  1. Calcule a componente z - do centro de massa do sólido W dado por x 2 + y 2 + z 2 2 z , x 2 + y 2 + z 2 8 z , z x 2 + y 2 , z 3 x 2 + y 2 , se a densidade no ponto x ,   y ,   z é inversamente proporcional ao quadrado da distancia do ponto à origem.

Passo 1

Bem, o z -   do centro de massa se calcula por

z - = W z ρ x ,   y ,   z d V M a s s a W

Onde ρ x ,   y ,   z é a função densidade do sólido e a M a s s a W = W ρ x ,   y ,   z d V .

Mas aí surge duas duvidas não é verdade?!

  1. Quem é o sólido W que estamos trabalhando?
  2. Quem é a função δ x ,   y ,   z ?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar aqui respondendo a primeira pergunta... Quem é o sólido W que estamos trabalhando?

Cara, não pira, pois esse sólido é e não é complicado ao mesmo tempo, porque precisamos apenas saber de duas superfícies basicamente, as outras duas são basicamente as mesmas saca?

Note que x 2 + y 2 + z 2 2 z é uma esfera, mas ela está deslocada. Se levarmos para sua forma original de esfera completando quadrado...

x 2 + y 2 + z 2 2 z                     x 2 + y 2 + z 2 - 2 z 0      

x 2 + y 2 + z - 1 2 - 1 0        

x 2 + y 2 + z - 1 2 1

Viu só? Uma esfera de raio 1 e com o centro deslocada em z :

x 2 + y 2 + z 2 8 z também é uma esfera, mas...

x 2 + y 2 + z 2 8 z                 x 2 + y 2 + z - 4 2 16    

de raio 4 e centrada 4 unidades pra cima.

z x 2 + y 2 é um cone que delimita em baixo (representado em verde), z 3 x 2 + y 2 , um cone que delimita em cima:

Eis o sólido W !:)

Passo 3

Bem, estamos trabalhando dentro de uma esfera, então... Nada mais justo utilizarmos as coordenadas esféricas, onde

x = r sin φ cos θ

y = r sin φ sin θ

z = r cos φ                    

O jacobiano dessa mudança é

J = r 2 sin φ              

E uma equação que é bastante útil é a equação da esfera:

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

Nunca devemos sair de uma mudança enquanto não encontramos onde essas novas variáveis estão variando. Bora?

Passo 4

Vamos começar aqui pelo mais fácil! Pelo ângulo θ , afinal de contas esse ângulo está dando uma volta completa, então logo ele só pode estar girando de 0 até 2 π .

0 θ 2 π

Em relação ao ângulo φ , pow, repare que ele está variando do cone superior, z = 3 x 2 + y 2 , ao cone inferior

C o n e   V e r d e φ C o n e   a z u l

Substituindo as coordenada polares nas equação dos cones... vamos ver no que dá (Veja em relação z = 3 x 2 + y 2 )

z = 3 x 2 + y 2                             r cos φ = 3 r sin φ cos θ 2 + r sin φ cos θ 2            

r cos φ = 3 r 2 sin 2 φ ( cos 2 θ + sin 2 θ )                    

r cos φ = 3   r sin φ      

Passando esse r cos φ pro lado de lá e esse 3 pro lado de cá...

r sin φ r cos φ = 1 3                   tan φ = 1 3                 φ = 30 ° = π 6

Sacou?

Em relação ao outro cone, z = x 2 + y 2

z = x 2 + y 2                       r cos φ =   r sin φ                           tan φ = 1              

      φ = 45 ° = π 4

logo

π 6 φ π 4

Passo 5

Só nos falta o r , e pow, note que o r , entra na esfera menor, e sai na esfera maior

E s f e r a   m e n o r r E s f e r a   m a i o r

A esfera menor tem x 2 + y 2 + z 2 2 z como equação. De modo análogo ao passo anterior, substituímos as polares para ver no que vai dar. Veja:

x 2 + y 2 + z 2 2 z                           r 2 2   r cos φ            

r 2 cos φ

Enquanto que a esfera maior...

x 2 + y 2 + z 2 8 z                               r 2 8   r cos φ      

r 8   cos φ

logo

2   cos φ r 8   cos φ

Passo 6

Wow! Yeah! A segunda pergunta...

  1. Quem é a função δ x ,   y ,   z ?

Bem... O próprio enunciado disse que a densidade é inversamente proporcional ao quadrado distancia de um ponto a origem. A distância a esse ponto é

d = x 2 + y 2 + z 2

logo

ρ x ,   y ,   z = k d 2 = k x 2 + y 2 + z 2

onde k é a constante de proporcionalidade, ok?

Passo 7

Podemos então agora montar a primeira integral que precisamos para matar o nosso problema:

W z ρ x ,   y ,   z d V = W z k x 2 + y 2 + z 2 d V

Trocando para as coordenadas esféricas não esquecendo do Jacobiano:

W z k x 2 + y 2 + z 2 d V = k 0 2 π π 6 π 4 2   cos φ 8   cos φ r cos φ r 2 J   d r d φ d θ =  

k 0 2 π π 6 π 4 2   cos φ 8   cos φ cos φ r r 2 sin φ   d r d φ d θ = k 0 2 π π 6 π 4 2   cos φ 8   cos φ r sin φ cos φ   d r d φ d θ =

Integrando o de dentro...

k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos φ 2   cos φ 8   cos φ r   d r d φ d θ =

k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos φ r 2 2 2   cos φ 8   cos φ d φ d θ =

substituindo e simplificando...

k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos φ 8   cos φ 2 2 - 2   cos φ 2 2 d φ d θ =

k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos φ 64   cos 2 φ 2 - 4   cos 2 φ 2 d φ d θ =

k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos φ 30   cos 2 ��� φ d φ d θ = 30 k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos 3 φ d φ d θ

Para calcular essa integral do meio aqui, fazemos uma substituição simples...

cos φ = t                   - d t = sin φ d φ

Não se esqueça de trocar os limites...

φ = π 6                                 cos π 6 = t                                 t = 3 2

φ = π 4                                 cos π 4 = t                                 t = 2 2

Retornando à integral...

30 k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos 3 φ d φ d θ = 30 k 0 2 π 2 2 3 2 - t 3 d t d θ

- 30 k 0 2 π t 4 4 2 2 3 2 d θ = - 30 k 3 2 4 4 - 2 2 4 4 0 2 π d θ =

- 30 k 9 64 - 1 16 2 π = - 60 5 64 k =

ganhamos

- 75 k π 16

Passo 8

Indo então para a próxima integral... (não desista, pois ainda precisamos da massa hehe)

W ρ x ,   y ,   z d V = W k x 2 + y 2 + z 2 d V =

Trocando para as coordenadas esféricas não esquecendo do Jacobiano:

W k x 2 + y 2 + z 2 d V = k 0 2 π π 6 π 4 2   cos φ 8   cos φ 1 r 2 J   d r d φ d θ =  

k 0 2 π π 6 π 4 2   cos φ 8   cos φ 1 r 2 r 2 sin φ   d r d φ d θ = k 0 2 π π 6 π 4 2   cos φ 8   cos φ sin φ   d r d φ d θ =

E repetindo todo o processo de resolução de integrais triplas...

k 0 2 π π 6 π 4 sin φ 2   cos φ 8   cos φ   d r d φ d θ =

k 0 2 π π 6 π 4 sin φ 6   cos φ d φ d θ = 6 k 0 2 π π 6 π 4 sin φ cos φ d φ d θ

cos φ = t                   - d t = sin φ d φ

φ = π 6                                 cos π 6 = t                                 t = 3 2

φ = π 4                                 cos π 4 = t                                 t = 2 2

6 k 0 2 π 2 2 3 2 - t d t d θ = - 6 k 0 2 π t 2 2 2 2 3 2 d θ =

- 6 k 3 2 2 2 - 2 2 2 2 0 2 π d θ =

ganhamos...

- 6 k 3 8 - 2 8 2 π = - 3 k π 2

Passo 9

Voltando para a fórmula e substituindo...

z - = W z ρ x ,   y ,   z d V M a s s a W =

- 75 k π 16 - 3 k π 2

dividindo ganhamos...

= 25 8

Resposta

25 8

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