Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

UNICAMP, Cálculo 2, P2 - 2018.2, Questão 4

Obtenha o centro de massa do sólido S delimitado superiormente pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = R 2 e inferiormente pelo plano x y . Assuma que a densidade é contante.

Passo 1

Opa, vamos lá. Pra achar centro de massa é bem receitinha de bolo. Primeiro a gente tem de encontrar os M x y ,   M y z ,   M x z   e   M , lembra?

Não esquece que esse δ ( x , y , z ) não é nada mais que a densidade, que na questão ele já nos disse que é K .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mas e esse sólido, como ele é?

Eu quero que você perceba que eu não coloquei valores no gráfico, até pq a gente não sabe o tamanho do raio dessa esfera, só sabemos que vamos chamar de R .

Passo 3

Então beleza, vamos juntar o que a gente tem até agora.

M x y = S z . K   d V

M x z = S y . K   d V

M y z = S x . K   d V

M = S 1 . K   d V

Observa comigo que esse M nada mais é do que o volume do sólido vezes esse K , certo?

M = S 1 . K   d V =   M = K S 1   d V

S 1   d V = V o l ( S )

Qual o volume de esfera? 4 3 π R 3 . Mas nesse caso nosso sólido é a metade da esfera. Então show, ficamos com 1 2 . 4 3 π R 3 .

Logo:

M = K .   V o l S = K . 1 2 . 4 3 π R 3

Passo 4

Bora agora partir pras coordenadas.

Como ficam as coisas então?

x - . M = M y z

y - . M = M x z

z - . M = M x y

Passo 5

O próximo passos agora é resolver esse M x y ,   M x z ,   M y z .

Como estamos lidando com uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas, show?

Então vamo pras substituições.

M x y = K . S z   d V =

S ρ cos φ .   ρ 2 s e n φ   d ρ d φ d θ =  

Lembrando que o ρ 2 s e n φ que eu coloquei ali é o Jacobiano que a gente não pode esquecer nunca!!

Estudando so intervalos de variação de θ ,   ρ   e   φ temos:

θ varia entre 0 e 2 π , uma vez que da uma volta completa, o ρ   vai de 0 a R , que é o maior valor que o raio assume, e φ vai só de 0 a π 2 , já que se trata só da metade de cima de uma esfera.

Então ficamos com:

0 2 π 0 π 2 0 R cos φ   ρ 3 s e n φ   d ρ d φ d θ =

0 2 π d θ   0 R ρ 3 d ρ   0 π 2 c o s φ   s e n φ   d φ =

Fazendo s e n φ = p

c o s φ   s e n φ   d φ = p   d p = p 2 2

= s e n 2 φ 2 0 π 2 = 1 2

Fazendo as outras partes mais simples da integral

0 R ρ 3 d ρ = ρ 4 4 0 R = R 4 4

0 2 π d θ = 2 π

Então

M x y = K . 2 π . R 4 4 . 1 2

Encontrando a coordenada de z :

z - = M x y M

= K . 2 π . R 4 4 . 1 2 K . 1 2 . 4 3 π R 3

= 3 R 8

Passo 6

Faltam agora as coordenadas x e y . Mas essas são bem mais tranquilas! Por simetria o centro de massa tem de estar no eixo z! Ou seja

x - = 0

y - = 0

Resposta

x - = 0

y - = 0

z - = 3 R 8

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