Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 436-13.

Seja uma região sólida no primeiro octante é limitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + z = 2 . A densidade do sólido é δ x , y , z = 2 x . Encontre a massa do sólido e o centro de massa.

Passo 1

Primeiro vamos determinar os limites das variáveis, o solido é

Então vamos começar fazendo,

0 x 2

Ao fixar um valor de x , temos que y vai variar da seguinte forma

0 y 2 - x

Para entender isso, vamos olhar o plano x y , ele é limitado pelos eixos coordenados e pela reta y = 2 - x .   Agora para um ponto ( x ,   y ) determinado, a varável z vai variar da seguinte forma

0 z 2 - x - y

Agora que já temos os limites das variáveis no sólido, vamos ir para as integrais que usamos para calcular a massa e o centro de massa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A massa do sólido é dada por,

M = W δ x , y , z d x d y d z = W ( 2 x ) d x d y d z

M = 0 2 0 2 - x 0 2 - x - y 2 x   d z d y d x

M = 0 2 0 2 - x 2 x ( 2 - x - y )   d y d x = 0 2 0 2 - x ( 4 x - 2 x 2 - 2 x y )   d y d x  

M = 0 2 4 x - 2 x 2 - 2 x y 2 2 0 2 - x d x = 0 2 4 x - 2 x 2 - 2 x 2 - x 2 2 d x

M = 0 2 x 3 - 4 x 2 + 4 x d x = x 4 4 - 4 x 3 3 + 2 x 2 0 2 = 4 3

M = 4 3

Passo 3

Agora vamos calcular os momentos,

M x y = W   z δ ( x , y , z ) d V = W   2 x z d V  

M x y = 0 2 0 2 - x 0 2 - x - y 2 x z   d z d y d x = 0 2 0 2 - x x 2 - x - y 2   d y d x  

M x y = 0 2 x - 2 - x - y 3 3 0 2 - x d x = 0 2 x 2 - x 3 3   d x

M x y = 0 2 8 x - 12 x 2 + 6 x 3 - x 4 3 d x = 1 3 4 x 2 - 4 x 3 + 3 x 4 2 - x 5 5 0 2

M x y = 8 15

M x z = W   y δ ( x , y , z ) d V = W   2 x y d V  

Como a equação é simétrica em y e z , ou seja, se trocarmos y por z e vice versa as equações não se alteram, temos que

M x z = 8 15

Agora, por último temos

M y z = W   x δ x , y , z d V = W   2 x 2 d V  

M y z = 0 2 0 2 - x 0 2 - x - y 2 x 2   d z d y d x = 0 2 0 2 - x 2 x 2 2 - x - y   d y d x

M y z = 0 2 2 x 2 - 2 - x - y 2 2 0 2 - x d x = 0 2 2 x 2 2 - x 2 2 d x = 0 2 2 x - x 2 2 d x

M y z = 0 2 4 x 2 - 4 x 3 + x 4 d x = 4 x 3 3 - x 4 + x 5 5 0 2 = 16 15

M y z = 16 15

Passo 4

Já temos os momentos, agora vamos encontraro centro de massa:

x - = M y z M = 4 5

y - = M x z M = 2 5

z - = M x y M = 2 5

Assim,

C . M .   = 4 5 , 2 5 , 2 5

Resposta

M = 4 3

C . M .   = 4 5 , 2 5 , 2 5

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