Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

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Enunciado

Um sólido de densidade constante é limitado abaixo pelo plano z = 0 , acima pelo cone z = r , r ≥ 0 e dos lados pelo cilindro r = 1 . Encontre o centro de massa.

Passo 1

Como temos um sólido limitado por um cilindro, vamos usar as coordenadas cilíndricas para resolver nosso problema! As coordenadas cilíndricas são r ,   θ e z .

x = r ⋅ cos ⁡ θ y = r ⋅ s e n   θ z = z

Pelos limites do sólido temos que

0 ≤ z ≤ r

Pelos lados dentro do cilindro r = 1 ,

0 ≤ r ≤ 1

Agora falta a variável θ ,

0 ≤ θ ≤ 2 π

Pronto, agora vamos calcular a integral que no da a massa e o centro de massa!

Passo 2

Para calcular o centro de massa precisamos encontrar a massa do sólido e os momentos! Como a densidade é constante e não sabemos seu valor, vamos chamas ela de δ . Em coordenadas cilíndricas a massa é dada por,

M = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r δ r d z d r d θ   = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r ⋅ r   d r d θ  

M = δ ∫ 0 2 π r 3 3 0 1   d θ = 2 π ⋅ 1 3 = δ 2 π 3  

Passo 3

Agora o calculo dos momentos,

M x y = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 r z ⋅ r d z d r d θ   =   δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 2 0 r ⋅ r d r d θ = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 z 2 2 0 r ⋅ r d r d θ

M x y = δ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 3 2 d r d θ = δ ⋅ 2 π ⋅ r 4 8 0 1 = δ ⋅ π 4

Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z , temos que

x - = y - = 0

Para determinar o centro de massa falta a coordenada z - :

z - = M x y M = δ π 4 δ 2 π 3 = 3 8

Assim,

C .   M .   = 0 ,   0 , 3 8

Resposta

C .   M .   = 0 ,   0 , 3 8

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Estabeleça, mas não calcule, as expressões integrais para (a) a massa, (b) o centro de massa e (c) o momento de inercia em relação ao eixo z.O hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,z ≥ 0 ; ρ x , y , z = x 2