Exercícios Resolvidos de Centro de Massa e Centroide de Sólidos

George B. Thomas e Weir Hass Giordano, Cálculo –Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 451-67.

Um sólido de densidade constante é limitado abaixo pelo plano z = 0 , acima pelo cone z = r , r 0 e dos lados pelo cilindro r = 1 . Encontre o centro de massa.

Passo 1

Como temos um sólido limitado por um cilindro, vamos usar as coordenadas cilíndricas para resolver nosso problema! As coordenadas cilíndricas são r ,   θ e z .

x = r cos θ y = r s e n   θ z = z

Pelos limites do sólido temos que

0 z r

Pelos lados dentro do cilindro r = 1 ,

0 r 1

Agora falta a variável θ ,

0 θ 2 π

Pronto, agora vamos calcular a integral que no da a massa e o centro de massa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular o centro de massa precisamos encontrar a massa do sólido e os momentos! Como a densidade é constante e não sabemos seu valor, vamos chamas ela de δ . Em coordenadas cilíndricas a massa é dada por,

M = 0 2 π 0 1 0 r δ r d z d r d θ   = δ 0 2 π 0 1 r r   d r d θ  

M = δ 0 2 π r 3 3 0 1   d θ = 2 π 1 3 = δ 2 π 3  

Passo 3

Agora o calculo dos momentos,

M x y = δ 0 2 π 0 1 0 r z r d z d r d θ   =   δ 0 2 π 0 1 z 2 2 0 r r d r d θ = δ 0 2 π 0 1 z 2 2 0 r r d r d θ

M x y = δ 0 2 π 0 1 r 3 2 d r d θ = δ 2 π r 4 8 0 1 = δ π 4

Como o sólido é simétrico em relação ao eixo z , temos que

x - = y - = 0

Para determinar o centro de massa falta a coordenada z - :

z - = M x y M = δ π 4 δ 2 π 3 = 3 8

Assim,

C .   M .   = 0 ,   0 , 3 8

Resposta

C .   M .   = 0 ,   0 , 3 8

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