Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

Passo 1

Essa é uma EDO não-homogênea. Mas vamos primeiro ignorar aquela função enjoada ali do lado direito da equação e vamos resolver como se fosse homogênea.

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0

Determinando a equação característica

r 3 - 3 r 2 + 3 t - 1 = 0

De cara vemos que uma das soluções é r = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabendo uma das raízes, podemos usar o método de Briot-Ruffini para diminuir o grau dessa equação. Fica algo assim:

Então a equação reduzida será

r 2 - 2 r + 1 = 0

Que se determinarmos as raízes encontramos

r = 1

Então esta é uma raízes tripla e a solução homogênea é:

y h x = C 1 e x + C 2 x e x + C 3 x 2 e x

Passo 3

Agora chega de ignorar as funções do lado direito.

x - 4 e x

Perceba que aí temos uma soma de duas funções então temos que pensar em dois chutes para a solução particular

y p 1 = a x + b

Mas olha que uma solução já aparece na solução homogênea então temos que multiplicar por x   para que a solução não apareça novamente. Então:

y p 2 = c x 3 e x

E

y p = a x + b + c x 3 e x

Passo 4

O próximo passo é derivar nosso chute para a solução particular e aplicar na EDO.

y p ' = a + 3 c x 2 e x + c x 3 e x

y p ' ' = 6 c x e x + 6 c x 2 e x + c x 3 e x

y p ' ' ' = 6 c e x + 18 c x e x + 9 c x 2 e x + c x 3 e x

Aplicando na EDO temos

6 c e x + 18 c x e x + 9 c x 2 e x + c x 3 e x - 18 c x e x - 18 c x 2 e x - 3 c x 3 e x + 3 a + 9 c x 2 e x + 3 c x 3 e x - a x - b - c x 3 e x = x - 4 e x

Simplificando podemos chegar em que

a = - 1 ; b = - 3   e   c = - 2 / 3

Enfim, chegamos na solução particular que é

y p x = - x - 3 - 2 3 x 3 e x

Passo 5

Sabemos que

y x = y h x + y p x

Então

y x = C 1 e x + C 2 x e x + C 3 x 2 e x - x - 3 - 2 3 x 3 e x

Resposta

y x = C 1 e x + C 2 x e x + C 3 x 2 e x - x - 3 - 2 3 x 3 e x

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