Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

Sejam y 1 e y 2 soluções das equações

y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t ,   y ' ' + p t y ' + q t y = g 2 t

respectivamente. Então y 1 + y 1 é solução da equação y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t + g 2 ( t )

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece ser bem complicada, mas vou ajudar você!

O problema deu uma equação diferencial não homogênea

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

E nos disse que y 1 e y 2 são soluções. Certo?

Se são soluções, então isso PRECISA acontecer:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = g 1 ( t )

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = g 2 ( t )

Beleza?

E nos pergunta se a diferença dessas soluções é solução da equação

y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t + g 2 ( t )

Notem que temos agora um g 1 t + g _ 2 ( t ) no lado direito! Isso significa que queremos saber se a diferença dessas soluções é solução da equação diferencial não homogênea associada!

Seja qualquer equação diferencial e se o problema nos diz que uma função é solução, você precisa lembrar que se substituirmos essa solução na equação, vai dar certo!

Nesse caso o dar certo é achar uma igualdade matemática.

Beleza?

Então, aqui o problema nos diz que y 1 e y 2 são soluções, então elas individualmente satisfazem a equação diferencial. Então para saber se a soma delas também satisfaz, precisamos substituir essa soma na equação e ver o que dá!

Passo 2

E a equação diferencial:

y ' ' + p t y ' + q t y = g 1 t + g 2 ( t )  

Agora vamos jogar y = y 1 + y 2 na equação:

y 1 + y 2 ' ' + p t y 1 + y 2 ' + q t y 1 + y 2 = g 1 t + g 2 ( t )

Você viu em cálculo 1 que a derivada da soma é a soma da derivada:

y 1 + y 2 ' = y 1 ' + y 2 '

E isso serve pra derivada segunda também!

y 1 + y 2 ' ' = y 1 ' ' + y 2 ' '

Certo?

Agora vou substituir isso ali na equação:

y 1 ' ' + y 2 ' ' + p t y 1 ' + y 2 ' + q t y 1 + y 2 = g 1 t + g 2 ( t )

Passo 3

Agora vamos reorganizar esses termos pra que y 1 (e suas derivadas) fiquei pertinho, e fazer o mesmo com a y 2 :

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 + y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = g 1 t + g 2 ( t )

Mas, pera aí! Volta lá no passo 1 comigo. A gente tinha que as soluções individuais eram soluções da equação diferencial não homogênea:

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 = g 1 ( t )

y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = g 2 ( t )

Sendo assim, podemos substituir y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 por g 1 ( t ) e y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 também por g 2 ( t ) :

y 1 ' ' + p t y 1 ' + q t y 1 + y 2 ' ' + p t y 2 ' + q t y 2 = g 1 t + g 2 ( t )

g 1 t + g 2 t = g 1 t + g 2 ( t )

0 = 0

Opa! Encontramos uma igualdade matemática! Isso significa que, uma vez que as funções y 1 e y 2 sejam soluções da equação diferencial não homogênea, a diferença delas y 1 + y 2 vai ser solução da equação diferencial não homogênea da soma das funções g 1 t + g 2 ( t ) associada!

Então a afirmativa está correta! Marcamos verdadeiro.

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

V e r d a d e i r o

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