Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

Passo 1

Temos nesse problema uma EDO com coeficientes constantes não homogênea e para resolvermos temos que encontrar a solução da EDO homogênea associada, y h , e vamos calcular uma solução particular pelo método da variação de parâmetros, y p .

y = y h + y p

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver a EDO homogênea associada primeiro.

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 0

Começamos achando a equação característica

r 3 - r 2 + r - 1 = 0 r 2 r - 1 + r - 1 = 0

r 2 + 1 r - 1 = 0

Daqui temos que

r 2 + 1 = 0             o u             r - 1 = 0

Da primeira temos que :

r = ± i

Da segunda temos

r = 1

Todas essas raízes apareceram apenas uma vez, então temos todas de multiplicidade 1 .

Para r = 1 , que é uma raiz real, a solução vai ser

y 1 = C 1 e x

Para r = ± i , que é uma raiz complexa com a = 0 e b = 1 , a solução vai ser

y 2 + y 3 = e 0 C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x

y 2 + y 3 = C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x

Com isso a gente já tem a solução geral da homogênea:

y = y 1 + y 2 + y 3 = C 1 e x + C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x

Passo 3

Agora vem a parte mais trabalhosa que é calcular a solução particular. Para isso vamos precisar das derivadas das funções que formaram a nossa solução homogênea.

y 1 = e x ,     y 1 ' = e x ,     y 1 ' ' = e x

y 2 = sen ⁡ x ,     y 2 ' = cos ⁡ x ,     y 2 ' ' = - sen ⁡ x

y 3 = cos ⁡ x ,   y 3 ' = - sen ⁡ x ,   y 3 ' ' = - cos ⁡ x

Com isso nós vamos construir a matriz W

W = e x sen ⁡ x cos ⁡ x e x cos ⁡ x - sen ⁡ x e x - sen ⁡ x - cos ⁡ x

E, partindo dessa matriz W podemos montar as matrizes W 1 , W 2 , W 3

W 1 = 0 sen ⁡ x cos ⁡ x 0 cos ⁡ x - sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x - cos ⁡ x

W 2 = e x 0 cos ⁡ x e x 0 - sen ⁡ x e x 1 - cos ⁡ x

W 3 = e x sen ⁡ x 0 e x cos ⁡ x 0 e x - sen ⁡ x 1

A nossa solução particular será dada por

y p = y 1 u 1 + y 2 u 2 + y 3 u 3

Onde as funções u 1 , u 2   e   u 3 serão dadas por.

u 1 = ∫ f x det ⁡ W 1 det ⁡ W d x

u 2 = ∫ f x det ⁡ W 2 det ⁡ W d x

u 3 = ∫ f x det ⁡ W 3 det ⁡ W d x

Onde f ( x ) é a parte não homogênea da nossa EDO.

f x = sec ⁡ x

Passo 4

Vamos ao cálculo dos determinantes.

det ⁡ W = e x sen ⁡ x cos ⁡ x e x cos ⁡ x - sen ⁡ x e x - sen ⁡ x - cos ⁡ x = - e x cos 2 ⁡ x - e x sen 2 ⁡ x - e x cos ⁡ x sen ⁡ x - ( e x cos 2 ⁡ x + e x sen 2 ⁡ x - e x cos ⁡ x sen ⁡ x )

det ⁡ W = - 2 e x

det ⁡ W 1 = 0 sen ⁡ x cos ⁡ x 0 cos ⁡ x - sen ⁡ x 1 - sen ⁡ x - cos ⁡ x = - sen 2 ⁡ x - cos 2 ⁡ x = - 1

det ⁡ W 2 = e x 0 cos ⁡ x e x 0 - sen ⁡ x e x 1 - cos ⁡ x = e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x = e x ( cos ⁡ x + sen ⁡ x )

det ⁡ W 3 = e x sen ⁡ x 0 e x cos ⁡ x 0 e x - sen ⁡ x 1 = e x cos ⁡ x - e x sen ⁡ x = e x ( cos ⁡ x - sen ⁡ x )

Passo 5

Com os determinantes calculados já podemos partir para o cálculo das funções.

u 1 = ∫ sec ⁡ x . - 1 - 2 e x d x = 1 2 ∫ e - x cos ⁡ x d x

Essa integral não tem função primitiva, então vamos deixar a função nessa forma mesmo, fazendo uma pequena alteração que não muda nada na função.

u 1 = 1 2 ∫ 0 x e - x cos ⁡ x d x

Passo 6

Calculando u 2

u 2 = ∫ sec ⁡ x e x cos ⁡ x + sen ⁡ x - 2 e x d x = - 1 2 ∫ d x + ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - 1 2 x - ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 7

Calculando u 3

u 3 = ∫ sec ⁡ x e x ( cos ⁡ x - sen ⁡ x ) - 2 e x d x = - 1 2 ∫ d x - ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x d x = - 1 2 x + ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 8

Logo a nossa solução particular será

y p = e x 1 2 ∫ 0 x e - x cos ⁡ x d x - sen ⁡ x 1 2 x - ln ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ x 1 2 x + ln ⁡ cos ⁡ x

Agora, juntando com a solução homogênea teremos

y = C 1 e x + C 2 sen ⁡ x + C 3 cos ⁡ x + e x 1 2 ∫ 0 x e - x cos ⁡ x d x - sen ⁡ x 1 2 x - ln ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ x 1 2 x + ln ⁡ cos ⁡ x

Agora teremos que calcular y ' e y ' ' para utilizarmos as condições iniciais e calcularmos as constantes.

y ' = C 1 e x + C 2 cos ⁡ x - C 3 sen ⁡ x + e x 1 2 ∫ 0 x e - x cos ⁡ x d x + 1 2 cos ⁡ x   - cos ⁡ x 1 2 x - ln ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x 1 2 1 + tan ⁡ x + sen ⁡ x 1 2 x + ln ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ x 1 2 ( 1 - tan ⁡ x )  

y ' ' = C 1 e x - C 2 sen ⁡ x - C 3 cos ⁡ x + e x 1 2 ∫ 0 x e - x cos ⁡ x d x + 1 2 cos ⁡ x + tan ⁡ x sec ⁡ x + sen ⁡ x 1 2 x - ln ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ x 1 + tan ⁡ x - sen ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + cos ⁡ x 1 2 x + ln ⁡ cos ⁡ x + sen ⁡ x 1 - tan ⁡ x + cos ⁡ x sec 2 ⁡ x 2  

As contas ficaram muito feias, mas é isso ai. Vamos jogar os valores agora

y 0 = C 1 + C 3 = 2

y ' 0 = C 1 + C 2 + 1 2 - 1 2 = C 1 + C 2 = - 1

y ' ' 0 = C 1 - C 3 + 1 2 - 1 + 1 2 = C 1 - C 3 = 1

Disso obtemos.

C 1 = 3 2 ,       C 2 = - 5 2 ,     C 3 = 1 2

Logo a nossa solução será.

y = 3 2 e x - 5 2 sen ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + e x 1 2 ∫ 0 x e - x cos ⁡ x d x - sen ⁡ x 1 2 x - ln ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ x 1 2 x + ln ⁡ cos ⁡ x

Resposta

y = 3 2 e x - 5 2 sen ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x + e x 1 2 ∫ 0 x e - x cos ⁡ x d x - sen ⁡ x 1 2 x - ln ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ x 1 2 x + ln ⁡ cos ⁡ x

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