Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

EDO de coeficientes constantes de ordem acima de 2

  1. Resolva a equação linear homogênea
  2. y 4 + 2 y ' ' + y = 0

  3. Ache uma solução particular da equação

y 4 + 2 y ' ' + y = 1 + e x

Usando o método dos coeficientes indeterminados

Passo 1

a)

Vamos resolver essa nossa EDO homogênea, primeiro vamos ver qual é a sua equação característica.

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o r em evidência, mas nesse caso não temos como fazer isso.

A ideia agora seria usar aquele método que vimos nos exercícios de fixação. Porém essa equação tem uma carinha de equação de 2 grau, o detalhe que ela é de 4 . Vamos fazer

r 2 = u

E a nossa equação vai ficar

u 2 + 2 u + 1 = 0

Então vamos ter

u 1 = - 2 + 2 2 - 4.1 . 1 2.1 = - 2 + 4 - 4 2 = - 2 + 0 2 = - 2 2 = - 1

u 2 = - 2 - 2 2 - 4.1 . 1 2.1 = - 2 - 4 - 4 2 = - 2 - 0 2 = - 2 2 = - 1

Passo 3

Agora que temos os valores de u vamos achar os valores de r

r 2 = u 1

r 2 = - 1

r 1 = i

r 2 = - i

Agora com o outro valor de u

r 2 = u 2

r 2 = - 1

r 3 = i

r 4 = - i

Passo 4

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que temos duas raiz de multiplicidade 2 , então as soluções são

y 1 + y 2 = e 0 x C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x = C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x

y 3 + y 4 = e 0 x C 3 x cos ⁡ x + C 4 x sen ⁡ x = C 3 x cos ⁡ x + C 4 x sen ⁡ x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3 + y 4

y h = C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x + C 3 x cos ⁡ x + C 4 x sen ⁡ x

Passo 5

b)

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO

y 4 + 2 y ' ' + y = 1 + e x

Como a nossa função ali do lado direito é uma constante mais uma exponencial vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

y p = A + B e x

Assim vamos ter

y p ' = B e x

y p ' ' = B e x

y p ' ' ' = B e x

y p 4 = B e x

Substituindo na edo

B e x + 2 B e x + A + B e x = 1 + e x

4 B e x + A = 1 + e x

Assim vamos ter

4 B = 1

A = 1

Então

B = 1 4

A = 1

E nossa solução particular vai ser

y p = e x 4 + 1

Resposta

a)

y h = C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x + C 3 x cos ⁡ x + C 4 x sen ⁡ x

b)

y p = e x 4 + 1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas