Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 127, exercício 10 – modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

y 4 + 2 y ' ' + y = 3 x + 4

Com

y 0 = y ' 0 = 0

y ' ' 0 = y ' ' ' 0 = 1

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y 4 + 2 y ' ' + y = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 4 + 2 r 2 + 1 = 0

Normalmente faríamos aquele método de achar as possíveis raízes e tudo mais, mas essa equação é especial, ela é a que chamamos de biquadrada, isso porque ela tem a cara de uma equação de segundo grau só que ela é de quarto grau, para resolver essa equação vamos fazer

r 2 = a

E a nossa equação vai ficar

a 2 + 2 a + 1 = 0

E podemos resolver como sempre fazemos

a 1 = - 2 + 2 2 - 4.1 . 1 2.1 = - 2 + 4 - 4 2 = - 2 2 = - 1

a 2 = - 2 - 2 2 - 4.1 . 1 2.1 = - 2 - 4 - 4 2 = - 2 2 = - 1

Assim vamos ter

r 2 = - 1           o u           r 2 = - 1

E vamos ter

r 1 = i

r 2 = - i

r 3 = i

r 4 = - i

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que temos um par de raízes complexas com multiplicidade 2 , então vamos ter

y 1 + y 2 = e 0 x C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x = C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x

y 3 + y 4 = C 3 x cos ⁡ x + C 4 x sen ⁡ x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3 + y 4

y h = C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x + C 3 x cos ⁡ x + C 4 x sen ⁡ x

Passo 4

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO

y 4 + 2 y ' ' + y = 3 x + 4

Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Vamos fazer

y p = A x + B

Assim vamos ter

y p ' = A

y p ' ' = 0

y p ' ' ' = 0

y p 4 = 0

Substituindo na Edo vamos ter

0 + 2.0 + A x + B = 3 x + 4

A x + B = 3 x + 4

Assim vamos ter

A = 3

B = 4

E nossa solução particular vai ser

y p = 3 x + 4

Perceba que não temos nenhum termo linear na solução homogênea.

Passo 5

A nossa solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 cos ⁡ x + C 2 sen ⁡ x + C 3 x cos ⁡ x + C 4 x sen ⁡ x + 3 x + 4

Passo 6

Agora temos que achar os valores das constantes, usando os valores iniciais que ele deu no enunciado.

Vamos começar com

y 0 = 0

Vamos ter

C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ 0 + C 3 0 cos ⁡ 0 + C 4 0 sen ⁡ 0 + 3.0 + 4 = 0

C 1 + 4 = 0

C 1 = - 4

Vamos para o segundo valor inicial

y ' 0 = 0

Primeiro temos que achar a primeira derivada

y ' = - C 1 sen ⁡ x + C 2 cos ⁡ x + C 3 cos ⁡ x - C 3 x sen ⁡ x + C 4 sen ⁡ x + C 4 x cos ⁡ x + 3

Assim vamos ter

- C 1 sen ⁡ 0 + C 2 cos ⁡ 0 + C 3 cos ⁡ 0 - C 3 0 sen ⁡ 0 + C 4 sen ⁡ 0 + C 4 0 cos ⁡ 0 + 3 = 0

C 2 + C 3 + 3 = 0

Vamos para o terceiro valor inicial

y ' ' 0 = 1

Vamos achar primeiro a segunda derivada

y ' ' = - C 1 cos ⁡ x - C 2 sen ⁡ x - C 3 sen ⁡ x - C 3 sen ⁡ x - C 3 x cos ⁡ x + C 4 cos ⁡ x + C 4 cos ⁡ x - C 4 x sen ⁡ x

Assim vamos ter

- C 1 cos ⁡ 0 - C 2 sen ⁡ 0 - C 3 sen ⁡ 0 - C 3 sen ⁡ 0 - C 3 0 cos ⁡ 0 + C 4 cos ⁡ 0 + C 4 cos ⁡ 0 - C 4 0 sen ⁡ 0 = 1

- C 1 + 2 C 4 = 1

Substituindo o valor de C 1

- - 4 + 2 C 4 = 1

4 + 2 C 4 = 1

C 4 = - 3 2

Vamos ao último valor inicial

y ' ' ' 0 = 1

Vamos achar a terceira derivada

y ' ' = C 1 sen ⁡ x - C 2 cos ⁡ x - C 3 cos ⁡ x - C 3 cos ⁡ x - C 3 cos ⁡ x + C 3 x sen ⁡ x - C 4 sen ⁡ x - C 4 sen ⁡ x - C 4 sen ⁡ x - C 4 x cos ⁡ x

Assim vamos ter

C 1 sen ⁡ 0 - C 2 cos ⁡ 0 - C 3 cos ⁡ 0 - C 3 cos ⁡ 0 - C 3 cos ⁡ 0 + C 3 0 sen ⁡ 0 - C 4 sen ⁡ 0 - C 4 sen ⁡ 0 - C 4 sen ⁡ 0 - C 4 0 cos ⁡ 0 = 1

- C 2 - C 3 - C 3 - C 3 = 1

C 2 + 3 C 3 = - 1

Passo 7

Juntando tudo que achamos temos

C 1 = - 4

C 2 + C 3 + 3 = 0

C 4 = - 3 2

C 2 + 3 C 3 = - 1

Pela segunda equação vamos ter

C 2 = - 3 - C 3

Substituindo na quarta equação

- 3 - C 3 + 3 C 3 = - 1

2 C 3 = 3 - 1

2 C 3 = 2

C 3 = 1

E

C 2 = - 3 - 1

C 2 = - 4

A nossa solução vai ficar

y = - 4 cos ⁡ x - 4 sen ⁡ x + x cos ⁡ x - 3 2 x sen ⁡ x + 3 x + 4

Resposta

y = - 4 cos ⁡ x - 4 sen ⁡ x + x cos ⁡ x - 3 2 x sen ⁡ x + 3 x + 4

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