Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

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Enunciado

A solução do problema de valor inicial y ' ' + y ' - 2 y = t ,   y - 2 = 1 ,   y ' - 2 = 2 ,

É:

  1. - t 2 - 3 4 e - 2 t + 2 + e t + 2 - 1 4
  2. - t 2 + 3 4 e - 2 t + 2 + e t + 2 + 1 4
  3. t - 3 4 e - 2 t + 2 + e t + 2 - 1 4

Passo 1

Oi galera, tudo beleza? Vamos lá?

Vamos começar olhando com carinho para essa equação diferencial:

y ' ' + y ' - 2 y = t

Ela é de segunda ordem (maior derivada que temos é a segunda) e os coeficientes (os números que vão na frente das derivadas e de y ) são constantes, então podemos usar o método dos coeficientes indeterminados.

A ideia aqui é seguir basicamente esses três passos:

  1. Fingir que essa equação é homogênea e colocar = 0 do lado direito da equação. Achar (por meio das raízes da equação característica) as soluções y h ;
  2. Depois supor solução para a equação particular associada;
  3. Por fim, com as duas soluções na mão, achar os coeficientes através das condições iniciais.

Beleza? Mas calma que vou te ajudar em cada passo!

Passo 2

Vamos primeiro identificar a equação característica da EDO homogênea associada! E equação homogênea é quando temos zero do outro lado da igualdade.

A EDO

y ' ' + y ' - 2 y = 0

Supondo uma solução geral do tipo exponencial temos:

y t = A e λ t

As derivadas primeira e segundas:

y ' = A λ e λ t

y ' ' = A λ 2 e λ t

E agora precisamos substituir na EDO:

A λ 2 e λ t + A λ e λ t - 2 A e λ t = 0

Podemos dividir tudo por A e λ t e ficamos com a famosa equação característica:

λ 2 + λ - 2 = 0

As soluções dessa equação vão nos dizer quais tipos de soluções vamos ter para a EDO homogênea. Sabendo essas soluções, podemos analisar a EDO não homogênea e assim dizer se as soluções vão ser LI ou LD. Sempre que elas forem parecidas (mesmo seno/cosseno, mesma exponencial, mesmo tipo de solução...) precisamos retirar essa dependência linear para garantir que o espaço das soluções seja todo contemplado.

Para retirar essa dependência linear basta multiplicar o núcleo da solução (a função que se repete) por um polinômio qualquer. Mas vamos ver isso mais para a frente. Primeiro precisamos resolver a equação característica.

Passo 3

E a equação característica

λ 2 + λ - 2 = 0

Agora para achar as raízes vamos usar bháskara:

λ = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

λ = - ( 1 ) ± ( 1 ) 2 - 4.1 . - 2 2 = - 1 ± 9 2

λ = - 1 ± 3 2

λ 1 = - 1 + 3 2 = 1 ;   λ 2 = - 1 - 3 2 = - 2

Então a solução da homogênea é:

y h = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2 t = c 1 e t + c 2 e - 2 t

Passo 4

Agora a particular!

A equação diferencial particular associada é:

y ' ' + y ' - 2 y = t

Como na nossa homogênea não tem nada com t , podemos chutar uma solução particular do tipo polinômio de primeiro grau:

y p = A t + B

E precisa ser o polinômio completo? SIIIMMMMM

Bem parecida com a função da não-homogênea associada!

Agora vamos pegar essa solução e derivar duas vezes:

y p = A t + B

y p ' = A

y p ' ' = 0

E substituir na equação diferencial não homogênea, pois assim podemos descobrir qual é a solução particular que queremos:

y ' ' + y ' - 2 y = t

0 + A - 2 A t + B = t

E para determinar os coeficientes A e B vou igualar os polinômios dos dois lados:

- 2 A t + A - 2 B = t

Igualando os termos lineares (com t ) e os termos independentes dos dois lados temos o seguinte sistema:

- 2 A = 1 A - 2 B = 0

Da primeira equação temos:

- 2 A = 1 ∴ A = - 1 2

E da segunda:

A - 2 B = 0 ∴ A = 2 B = - 1 2 ∴ B = - 1 4

Aí nossa solução particular fica:

y p = A t + B = - 1 2 t - 1 4

Passo 5

Beleza?

Temos então as duas soluções: homogênea e particular. A solução é a soma dessas duas:

y = y h + y p

y = c 1 e t + c 2 e - 2 t - 1 2 t - 1 4

E agora? Bom, precisamos ainda determinar os coeficientes c 1 e c 2 ! E isso a gente faz através das condições de contorno!

Elas foram dadas:

y - 2 = 1 ,   y ' - 2 = 2

Então vamos substituir cada uma (uma na solução e outra na derivada da função) e achar um sistema de equações com duas variáveis e duas equações.

Usando a primeira condição inicial y - 2 = 1 :

y ( t ) = c 1 e t + c 2 e - 2 t - 1 2 t - 1 2

y - 2 = c 1 e - 2 + c 2 e 4 - - 2 2 - 1 4 = 1

Então daqui temos que:

c 1 e - 2 + c 2 e 4 = 1 4

E agora vou derivar a solução y ( t ) para poder usar a segunda condição inicial:

y ' t = c 1 e t - 2 c 2 e t - 1 2

E agora aplicar y ' - 2 = 2 :

y ' - 2 = c 1 e - 2 - 2 c 2 e 4 - 1 2 = 2

Daqui temos

c 1 e - 2 - 2 c 2 e 4 = 5 2

Juntando essas duas equações temos:

c 1 e - 2 + c 2 e 4 = 1 4 ( 1 ) c 1 e - 2 - 2 c 2 e 4 = 5 2   ( 2 )

Vou multiplicar a equação (1) por 2:

2 c 1 e - 2 + 2 c 2 e 4 = 1 2 c 1 e - 2 - 2 c 2 e 4 = 5 2  

E agora fazer a soma das duas:

3 c 1 e - 2 = 3 ∴ c 1 = e 2

E agora precisamos escolher qualquer uma das equações para achar c 2 . Vou escolher a (1) mesmo:

c 1 e - 2 + c 2 e 4 = 1 4

e 2 e - 2 + c 2 e 4 = 1 4

c 2 e 4 = 1 4 - 1 = - 3 4

c 2 = - 3 4 e - 4

Pronto! Determinamos as duas constantes, aí nossa solução completa fica assim

y ( t ) = c 1 e t + c 2 e - 2 t - 1 2 t - 1 4

Com c 1 = e 2 e c 2 = - 3 4 :

y t = e 2 e t - 3 4 e - 4 e - 2 t - 1 2 t - 1 4

y t = e ( t + 2 ) - 3 4 e - 2 ( t + 2 ) - 1 2 t - 1 4

E a alternativa que tem essa solução como resposta é a letra (a).

Tranquilo?

Espero ter ajudado!

Resposta

( a )

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