Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

Encontre todas as soluções da EDO:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = x - 4 e x

Passo 1

Temos aqui uma EDO de 3 ª ordem, pois aparece a terceira derivada. Além disso, temos função de x solta, então ela também é não-homogênea.

Mediante isso, a solução final será composta por parte homogênea e particular:

y x = y h x + y p x  

Vamos começar encontrando a solução da parte homogênea.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para encontrar a solução homogênea, pegamos a EDO equivalente igualada a zero:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0

E tiramos a equação característica correspondente: r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0

E temos aqui uma equação de 3 º grau. Como resolver isso? Vamos começar chutando uma raiz, como r = 1 , por exemplo:

1 3 - 3 ⋅ 1 2 + 3 ⋅ 1 - 1 = 0

1 - 3 + 3 - 1 = 0

0 = 0

Então temos que r 1 = 1 é uma raiz dessa equação. Sabendo disso, vamos dividir o polinômio por r - 1 . Usando Briot-Ruffini, colocamos os coeficientes da equação característica na parte superior:

1 - 3 3 - 1

Colocamos a raiz 1 de r - 1 no quadrante superior esquerdo: 1 1 - 3 3 - 1

Repetimos o primeiro coeficiente embaixo:

1 1 1 - 3 3 - 1

Agora, multiplicamos pela raiz 1 e somamos com - 3 no terceiro quadrante superior da esquerda para direita:

1 ⋅ 1 - 3 = - 2

Colocamos o resultado abaixo do terceiro quadrante:

1 1 1 - 3 - 2 3 - 1

E repetimos o processo como se não houvesse amanhã: - 2 ⋅ 1 + 3 = 1

1 1 1 - 3 - 2 3 - 1 1

1 ⋅ 1 - 1 = 0

1 1 1 - 3 - 2 3 - 1 1 0

Os três primeiros coeficientes nos quadrantes inferiores são os coeficientes da nova equação de segundo grau e o último é o resto, que é zero já que r = 1 é raiz. Assim, temos a nova equação: r 2 - 2 r + 1 = 0

É um quadrado perfeito. Podemos reescrevê-la como: r 2 - 2 r + 1 = r - 1 2 = 0

Ou seja, temos mais duas raízes r 2 = r 3 = 1 . Ou seja, nosso problema tem três raízes reais idênticas. Para escrever a solução homogênea, pegamos a primeira exponencial: y 1 = e r 1 x = e x

A segunda exponencial, multiplicamos por x : y 2 = x e r 2 x = x e x

E a terceira por x 2 :

y 3 = x 2 e r 3 x = x 2 e x

A solução homogênea será a combinação disso tudo:

y h x = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x

Passo 3

Ok, a solução homogênea já foi, vamos para a solução particular então. Temos duas funções distintas, um polinômio de primeiro grau x e uma exponencial - 4 e x . Então, vamos dividir nossa solução particular em duas partes, uma associada a x que chamaremos de y p 1 e outra associada à exponencial que chamaremos de y p 2 .

Beleza, então vamos ter: y p x = y p 1 x + y p 2 x

Vamos começar analisando y p 1 x . Como a função associada é um polinômio de 1 º grau, esperamos y p 1 x na forma: y p 1 x = A + B x

Precisamos substituir na EDO relacionada para encontrar as constantes. Para isso, vamos derivar: y p 1 ' x = A + B x ' = B

y p 1 ' ' x = B ' = 0

y p 1 ' ' ' x = 0 ' = 0

Assim, substituímos na EDO sem a exponencial associada à segunda parte (porque estamos analisando a primeira parte y p 1 ):

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = x

0 - 3 ⋅ 0 + 3 B - A + B x = x

Juntamos termos de mesmo grau para poder comparar: 3 B - A - B x = 0 + 1 x

E chegamos no sistema: 3 B - A = 0 - B = 1

Substituindo a segunda equação na primeira, temos: - 3 - A = 0 ⟹ A = - 3

Assim, nossa primeira parte da solução particular será:

y p 1 x = A + B x

y p 1 x = - 3 - x

Passo 4

A primeira parte da solução homogênea já foi, vamos olhar a segunda parte associada à exponencial agora. Naturalmente esperaríamos solução na forma:

y p 2 x = C e x

Porém, já temos solução nesta forma aparecendo na parte não homogênea, logo consideramos: y p 2 x = C x 3 e x

Que é o menor grau que não aparece. Para poder substituir na EDO correspondente, vamos derivar pela regra do produto (vai ficar grande):

y p 2 ' x = C x 3 e x ' = C x 3 e x + 3 C x 2 e x = C e x 3 x 2 + x 3

y p 2 ' ' x = C e x 3 x 2 + x 3 ' = C e x 3 x 2 + x 3 + C e x 6 x + 3 x 2

= C e x 6 x + 6 x 2 + x 3

y p 2 ' ' ' x = C e x 6 x + 6 x 2 + x 3 ' = C e x 6 x + 6 x 2 + x 3 + C e x 6 + 12 x + 3 x 2

= C e x 6 + 18 x + 9 x 2 + x 3

Calculado tudo, vamos substituir na EDO sem a parte relacionada a y p 1 x :

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = - 4 e x

C e x 6 + 18 x + 9 x 2 + x 3 - 3 C e x 6 x + 6 x 2 + x 3 + 3 C e x 3 x 2 + x 3 - C x 3 e x = - 4 e x

Juntamos termos de mesmo grau:

6 C e x + 18 - 18 x C e x + 9 - 18 + 9 x 2 C e x + 1 - 3 + 3 - 1 x 3 C e x = - 4 e x

Repara que todos os coeficientes, exceto o de grau zero, vão se anular, isso é esperado mesmo. Assim, temos:

6 C e x = - 4 e x

Comparando, encontramos C: 6 C = - 4 ⟹ C = - 2 3

Portanto, a segunda parte da solução particular será: y p 2 x = C x 3 e x

y p 2 x = - 2 3 x 3 e x

Ou seja, nossa solução particular será:

y p x = y p 1 x + y p 2 x

y p x = - 3 - x + - 2 3 x 3 e x

Passo 5

Show, agora encontramos tudo que queríamos e podemos substituir na solução geral:

y x = y h x + y p x

y x = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x - 3 - x + - 2 3 x 3 e x

Resposta

y x = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x - 3 - x + - 2 3 x 3 e x

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