Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 8ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 127, exercício 11 – modificado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado

y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = x + e x

Com

y 0 = 1

y ' 0 = - 1 4

y ' ' 0 = - 3 2

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 3 - 3 r 2 + 2 r = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 3 - 3 r 2 + 2 r = 0

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o r em evidência

r r 2 - 3 r + 2 = 0

Assim vamos ter

r = 0         o u         r 2 - 3 r + 2 = 0

E

r 1 = 0

Para os outros valores de r vamos resolver

r 2 - 3 r + 2 = 0

r 2 = - - 3 + - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 + 9 - 8 2 = 3 + 1 2 = 3 + 1 2 = 4 2 = 2

r 2 = - - 3 - - 3 2 - 4.2 . 1 2.1 = 3 - 9 - 8 2 = 3 - 1 2 = 3 - 1 2 = 2 2 = 1

Assim vamos ter

r 1 = 0

r 2 = 2

r 3 = 1

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que todas as raízes tem multiplicidade 1 , então as soluções vão ser

y 1 = C 1 e 0 x = C 1

y 2 = C 2 e 2 x

y 3 = C 3 e x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3

y h = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e x

Passo 4

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO

y ' ' ' - 3 y ' ' + 2 y ' = x + e x

Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio mais uma exponencial vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Normalmente faríamos

y p = A x + B + C e x

Mas repara que temos uma constante e e x na solução da homogênea, desse jeito nossa solução particular na verdade vai ser multiplicando cada um desses caras por x

y p = A x 2 + B x + C x e x

Assim vamos ter

y p ' = 2 A x + B + C e x + C x e x

y p ' ' = 2 A + C e x + C e x + C x e x

y p ' ' ' = C e x + C e x + C e x + C x e x

Substituindo na Edo vamos ter

C e x + C e x + C e x + C x e x - 3 2 A + C e x + C e x + C x e x + 2 2 A x + B + C e x + C x e x = x + e x

3 C e x + C x e x - 6 A - 6 C e x - 3 C x e x + 4 A x + 2 B + 2 C e x + 2 C x e x = x + e x

- C e x - 6 A + 4 A x + 2 B = x + e x

Assim vamos ter

4 A = 1

- 6 A + 2 B = 0

- C = 1

Vamos ter

A = 1 4

- 6 1 4 + 2 B = 0

2 B = 6 4

2 B = 3 2

B = 3 4

C = - 1

E nossa solução particular vai ser

y p = x 2 4 + 3 x 4 - x e x

Passo 5

A nossa solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 + C 2 e 2 x + C 3 e x + x 2 4 + 3 x 4 - x e x

Passo 6

Agora temos que achar os valores das constantes, usando os valores iniciais que ele deu no enunciado.

Vamos começar com

y 0 = 1

Vamos ter

C 1 + C 2 e 2 . 0 + C 3 e 0 + 0 2 4 + 3 . 0 4 - 0 e 0 = 1

C 1 + C 2 + C 3 = 1

Vamos para o segundo valor inicial

y ' 0 = 0

Primeiro temos que achar a primeira derivada

y ' = 2 C 2 e 2 x + C 3 e x + x 2 + 3 4 - e x - x e x

Assim vamos ter

2 C 2 e 2 . 0 + C 3 e 0 + 0 2 + 3 4 - e 0 - 0 e 0 = - 1 4

2 C 2 + C 3 + 3 4 - 1 = - 1 4

2 C 2 + C 3 = 0

Vamos para o terceiro valor inicial

y ' ' 0 = - 3 2

Vamos achar primeiro a segunda derivada

y ' ' = 4 C 2 e 2 x + C 3 e x + 1 2 - e x - e x - x e x

Assim vamos ter

4 C 2 e 2.0 + C 3 e 0 + 1 2 - e 0 - e 0 - 0 e 0 = - 3 2

4 C 2 + C 3 + 1 2 - 2 = - 3 2

4 C 2 + C 3 = 0

Passo 7

Juntando tudo que achamos temos

C 1 + C 2 + C 3 = 1

2 C 2 + C 3 = 0

4 C 2 + C 3 = 0

Pela segunda equação vamos ter

C 3 = - 2 C 2

Pela terceira equação vamos ter

C 3 = - 4 C 2

Isso nos diz que

C 2 = 0

E

C 3 = 0

Assim

C 1 + 0 + 0 = 1

C 1 = 1

A nossa solução vai ficar

y = 1 + x 2 4 + 3 x 4 - x e x

Resposta

y = 1 + x 2 4 + 3 x 4 - x e x

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