Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

EDO de coeficientes constantes de ordem acima de 2

Determine a solução geral da equação y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 2 x + 3 e x

Passo 1

Opa, é aquela EDO de grau maior que 2, pela cara da EDO a gente já ve que da para utilizar o método do coeficiente a determinar para resolver, certo? Mas temos sempre que achar a homogênea antes, vamos para a equação característica:

r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = 0

Um macete do polinômio! Se você somar todos os coeficiente do polinômio e der 0 , então 1 é raiz, no caso do polinômio acima: 1 - 3 + 3 - 1 = 0 , então 1 é raiz! Então podemos escrever assim:

r - 1 a r 2 + b r + c = r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1

Sacou? Vamos achar essas constantes:

a r 3 + b - a r 2 + c - b r - c = r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1

Igualando os coeficientes:

a = 1 b - a = - 3 c - b = 3 c = 1

Substituindo a última na penúltima:

c - b = 3 → 1 - b = 3 → b = - 2

E pronto, as contantes são : a = 1 ,   b = - 2 ,   c = 1 , então ficou:

r - 1 r 2 - 2 r + 1 = 0

Mas agora a gente já sabe resolver: r 2 - 2 r + 1 = 0 → r - 1 2 = 0

Repara que a soma dos coeficientes deu 0 , então já deveria ter pelo menos uma raiz igual a 1 ! Então no fim das contas ficou:

r 3 - 3 r 2 + 3 r - 1 = r - 1 2 r - 1 = r - 1 3

Assim a solução da homogênea, para raízes múltiplas é:

y h = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora devemos determinar a solução particular, pelo princípio da superposição podemos analisar separadamente:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 3 e x     1

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 2 x         ( 2 )

Para a EDO ( 1 ) devemos chutar uma solução com a cara: y p 1 = C e x , certo? Errado! Vai multiplicando por x até obter uma solução que não seja igual a da homogênea, assim fica:

y p 1 = C x 3 e x

Vamos derivar esse cara:

y p 1 ' = 3 C x 2 e x + C x 3 e x = C e x ( x 3 + 3 x 2 )

Novamente:

y p 1 ' ' = 6 C x e x + 6 C x 2 e x + C x 3 e x = C e x ( x 3 + 6 x 2 + 6 x )

EEE novamente:

y p 1 ' ' ' = C e x x 3 + 6 x 2 + 6 x + C e x 3 x 2 + 12 x + 6 = C e x ( x 3 + 9 x 2 + 18 x + 6 )

Vou botar a EDO aqui de novo pra a gente se lembrar:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 3 e x

Vamos substituir isso na EDO:

C e x x 3 + 9 x 2 + 18 x + 6 - 3 C e x x 3 + 6 x 2 + 6 x + 3 C e x x 3 + 3 x 2 - C x 3 e x = 3 e x

Unindo esses caras(Sim, cortou tudo!)

C e x + 6 = 3 e x

Concluímos que:

6 C = 3 → C = 1 2

Assim ficou:

y p 1 = 1 2 x 3 e x

Passo 3

A outra solução que devemos achar é:

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 2 x        

Para essa podemos chutar o polinômio de menos grau, como temos uma função y na EDO, já podemos chutar diretamente o grau do polinômio:

y p 2 = a x + b

Derivando:

y p 2 ' = a

y p 2 ' ' = y p 2 ' ' ' = 0

Substituindo:

0 - 3.0 + 3 a - a x - b = 2 x

Assim ficou:

- a x + 3 a - b = 2 x

Igualando os coeficientes:

- a = 2 → a = - 2

3 a - b = 0 → b = 3 a = - 6

Assim a solução particular é dada por:

y p 2 = - 2 x - 6

Passo 4

A solução geral é dada por:

y = y h + y p 1 + y p 2

Que fica:

y = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x + 1 2 x 3 e x - 2 x - 6

Resposta

y = c 1 e x + c 2 x e x + c 3 x 2 e x + 1 2 x 3 e x - 2 x - 6

∀   x ∈ R

c 1 , c 2 , c 3 ∈ R

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas