Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

EDO de coeficientes constantes de ordem acima de 2

Determine a solução geral da equação

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 3 x + e x

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 3 - r 2 + r - 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 3 - r 2 + r - 1 = 0

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o r em evidência, mas nesse caso não temos como fazer isso.

A ideia agora seria usar aquele método que vimos nos exercícios de fixação, mas repara que essa equação pode ser resolvida de uma forma um pouco mais fácil.

Temos dois pares de subtrações, repara que o primeiro podemos por o r 2 em evidência e ter r 2 vezes a segunda subtração, vai ficar assim

r 2 r - 1 + r - 1 = 0

Colocando r - 1 em evidência

r - 1 r 2 + 1 = 0

Assim vamos ter

r - 1 = 0         o u         r 2 + 1 = 0

E

r 1 = 1

Para os outros valores de r vamos resolver

r 2 + 1 = 0

r 2 = i

r 3 = - i

Assim vamos ter

r 1 = 1

r 2 = i

r 3 = - i

Passo 3

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que todas as raízes tem multiplicidade 1 , então as soluções vão ser

y 1 = C 1 e x

y 2 + y 3 = e 0 x C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x = C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3

y h = C 1 e x + C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x

Passo 4

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO

y ' ' ' - y ' ' + y ' - y = 3 x + e x

Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio mais uma exponencial vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Normalmente faríamos

y p = A x + B + C e x

Mas repara que temos e x na solução da homogênea, desse jeito nossa solução particular na verdade vai ser multiplicando esse cara por x

y p = A x + B + C x e x

Assim vamos ter

y p ' = A + C e x + C x e x

y p ' ' = C e x + C e x + C x e x

y p ' ' ' = C e x + C e x + C e x + C x e x

Substituindo na EDO vamos ter

C e x + C e x + C e x + C x e x - C e x + C e x + C x e x + A + C e x + C x e x - A x + B + C x e x = 3 x + e x

3 C e x + C x e x - 2 C e x - C x e x + A + C e x + C x e x - A x - B - C x e x = 3 x + e x

2 C e x + A - A x - B = 3 x + e x

Isso nos diz que

2 C = 1

A - B = 0

- A = 3

Assim vamos ter

C = 1 2

A = - 3

B = A = - 3

E a nossa solução particular vai ser

y p = - 3 x - 3 + x e x 2

Passo 5

A nossa solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 e x + C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x - 3 x - 3 + x e x 2

Resposta

y = C 1 e x + C 2 cos ⁡ x + C 3 sen ⁡ x - 3 x - 3 + x e x 2

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