Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

UNICAMP, Cálculo 3, P1 - 2018.2, Questão Q02

Considere a EDO y ( 5 ) + y ( 2 ) = e - x + 5 .

(a) (1pt) Sabendo que r 3 + 1 = ( r + 1 ) ( r 2 - r + 1 ) , ache a solução geral do sistema homogêneo associado;

(b) (1,5 pt) Ache a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Opa, Vamos lá resolver essa EDO de ordem superior.

Bom, assim coo na EDO de 2ª ordem, a gente começa resolvendo a EDO homogênea e depois encontra a solução particular;

Para isso, vamos achar quem? A nossa querida equação característica.

r 5 + r 2 = 0

Ora, podemos colocar o r 2 em evidência, né

r 2 r 3 + 1 = 0

E aí começou a fazer sentido a dica que o exercício deu. Então vamos ficar com:

r 2 r + 1 r 2 - r + 1 = 0

Agora, podemos encontrar as raízes. Como é um polinômio de grau 5, sabemos que serão 5 raízes. Vamos descobrir quais são as raízes do polinômio de segundo grau:

r 2 - r + 1 = 0 r = 1 ± 1 - 4 2 r = 1 ± 3 i 2

Bom, agora que já sabemos as raízes do polinômio de segundo grau, podemos enumerar todas as raízes, né

r 1 = 0

r 2 = 0

r 3 = - 1

r 4 = 1 + 3 i 2

r 5 = 1 - 3 i 2

Beleza, agora que já sabemos as raízes, podemos escrever as soluções.

y h = y 1 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5

y 1 = c 1                 y 2 = c 2 x               y 3 = c 3 e - x

y 4 + y 5 = e 0,5 x c 4 cos 3 2 x + c 5 sen 3 2 x

Então,

y h = c 1 + c 2 x + c 3 e - x + e 0,5 x c 4 cos 3 2 x + c 5 sen 3 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já achamos a solução do sistema homogêneo, temos que encontrar a solução geral.

y x = y h x + y p ( x )

Só que nós temos dois termos na solução particular, né? Temos, e - x e 5 .

Então podemos pensar em duas soluções particulares e depois a gente soma.

Bom, vamos começar com o e - x .

Uma solução a se pensar é A e - x , só que dá uma olhada na nossa solução do sistema homogêneo. Essa solução já apareceu lá. Aí o que a gente faz nesses casos??? A gente multiplica por x , lembra? Até a solução ficar diferente. Então vamos ter a nossa soluçaõ particular:

y p 1 = A x e - x

Agora, vamos calcular as derivadas para podermos substituir na nossa EDO.

y ' p 1 = A e - x - A x e - x

y ' ' p 1 = - A e - x - A e - x + A x e - x = - 2 A e - x + A x e - x

y p 1 ( 3 ) = 3 A e - x - A x e - x

y p 1 ( 4 ) = - 4 A e - x + A x e - x

y p 1 ( 5 ) = 5 A e - x - A x e - x

Beleza, agora que já temos todas as derivadas, podemos substituir na equação:

5 A e - x - A x e - x + - 2 A e - x + A x e - x = e - x

3 A e - x = e - x A = 1 / 3

Logo,

y p 1 = 1 3 x e - x

Uhuuul! Descobrimos uma solução particular. Agora vamos descobrir a próxima.

É mais comum a gente encontrar uma função como um polinômio, né

Só que o problema trouxe apenas uma constante. E agora???

Bom, podemos continuar tratanto como um polinômio, só que nesse caso só estamos interessados no último termo, que é o termo constante, certo? Podemos testar um polinômio de ordem 2 da forma y p 2 = A x 2 já que termos de ordem menor vão sumir com as derivadas e os termos de ordem maior serão zerados quando igualar com o resultado.

y p 2 = B x 2

y p 2 ' = 2 B x

y p 2 ' ' = 2 B

y p 2 5 = 0

Na expressão, ficará:

0 + 2 B = 5 B = 5 2

y p 2 = 5 2 x 2

y p = y p 1 + y p 2 = 1 3 x e - x + 5 2 x 2

Logo, a solução geral será:

y x = y h + y p

Onde:

y h = c 1 + c 2 x + c 3 e - x + e 0,5 x c 4 cos 3 2 x + c 5 sen 3 2 x

E

y p = 1 3 x e - x + 5 2 x 2

Resposta

y x = y h + y p

Onde:

y h = c 1 + c 2 x + c 3 e - x + e 0,5 x c 4 cos 3 2 x + c 5 sen 3 2 x

E

y p = 1 3 x e - x + 5 2 x 2

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