Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

USP, Cálculo 4, P3 - 2010, Questão 3

Determine a solução geral da equação

y ' ' ' + 3 y ' ' + 3 y ' + y = 2 x + e - x

Passo 1

Bem aqui temos uma EDO que é não homogênea, para resolver essa EDO temos que achar a solução da EDO homogênea equivalente primeiro, depois vamos achar a solução particular.

A EDO homogênea equivalente vai ser

y ' ' ' + 3 y ' ' + 3 y ' + y = 0

Para resolvermos essa EDO temos que achar a equação característica dessa EDO

r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos resolver essa equação agora

r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1 = 0

A primeira coisa que vamos fazer é colocar o r em evidência, mas nesse caso não temos como fazer isso.

A ideia agora seria usar aquele método que vimos nos exercícios de fixação Vamos usar aquele método que vimos nos exercícios de fixação.

As possíveis raízes de

r 3 + 3 r 2 + 3 r + 1 = 0

Vão ser

r = ± 1

Testando você vai ver que r = - 1 é uma das raízes dessa parada, então

r 1 = - 1

Aplicando Briott-Ruffini, vamos ter no final das contas a seguinte parada

E a nossa nova equação vai ser

r 2 + 2 r + 1 = 0

Passo 3

Ufa, chegamos numa equação de 2 º grau, agora podemos fazer como sempre fazemos

r 2 + 2 r + 1 = 0

r 2 = - 2 + 2 2 - 4.1 . 1 2.1 = - 2 + 4 - 4 2 = - 2 + 0 2 = - 2 2 = - 1

r 3 = - 2 - 2 2 - 4.1 . 1 2.1 = - 2 - 4 - 4 2 = - 2 - 0 2 = - 2 2 = - 1

Então temos todas as raízes agora, vamos escrever essas raízes aqui

Assim vamos ter

r 1 = - 1

r 2 = - 1

r 3 = - 1

Passo 4

Agora que temos as raízes podemos ver como vão ser as soluções.

Repara que temos uma raiz de multiplicidade 3 , então as soluções são

y 1 = C 1 e - x

y 2 = C 2 x e - x

y 3 = C 3 x 2 e - x

A nossa solução da homogênea vai ser

y h = y 1 + y 2 + y 3

y h = C 1 e - x + C 2 x e - x + C 3 x 2 e - x

Passo 5

Agora precisamos achar a solução particular dessa EDO

y ' ' ' + 3 y ' ' + 3 y ' + y = 2 x + e - x

Como a nossa função ali do lado direito é um polinômio mais uma exponencial vamos usar o método dos coeficientes a determinar.

Normalmente faríamos

y p = A x + B + C e - x

Mas repara que temos e - x na solução da homogênea, desse jeito nossa solução particular na verdade vai ser multiplicando esse cara por x

y p = A x + B + C x e - x

Mas ainda vamos ter x e - x na homogênea, então temos que fazer

y p = A x + B + C x 2 e - x

Droga, aquele maluco x 2 e - x ainda está na homogênea, então a particular vai ser

y p = A x + B + C x 3 e - x

Assim vamos ter

y p ' = A + 3 C x 2 e - x - C x 3 e - x

y p ' ' = 6 C x e - x - 3 C x 2 e - x - 3 C x 2 e - x + C x 3 e - x = 6 C x e - x - 6 C x 2 e - x + C x 3 e - x

y p ' ' ' = 6 C e - x - 6 C x e - x - 12 C x e - x + 6 C x 2 e - x + 3 C x 2 e - x - C x 3 e - x = 6 C e - x - 18 C x e - x + 9 C e - x - C x 3 e - x

Substituindo na EDO vamos ter

6 C e - x - 18 C x e - x + 9 C e - x - C x 3 e - x + 3 6 C x e - x - 6 C x 2 e - x + C x 3 e - x + 3 A + 3 C x 2 e - x - C x 3 e - x + A x + B + C x 3 e - x = 2 x + e - x

6 C e - x - 18 C x e - x + 9 C e - x - C x 3 e - x + 18 C x e - x - 18 C x 2 e - x + 3 C x 3 e - x + 3 A + 9 C x 2 e - x - 3 C x 3 e - x + A x + B + C x 3 e - x = 2 x + e - x

6 C e - x + 3 A + A x + B = 2 x + e - x

Isso nos diz que

6 C = 1

3 A + B = 0

A = 2

Assim vamos ter

C = 1 6

A = 2

B = - 3 A = - 6

E a nossa solução particular vai ser

y p = 2 x - 6 + x 3 e - x 6

Passo 6

A nossa solução geral vai ser

y = y h + y p

y = C 1 e - x + C 2 x e - x + C 3 x 2 e - x + 2 x - 6 + x 3 e - x 6

Resposta

y = C 1 e - x + C 2 x e - x + C 3 x 2 e - x + 2 x - 6 + x 3 e - x 6

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