Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

USP, Cálculo 4, P1 - 2016, Questão 3

Dê a solução geral de:

y ' ' ' + 4 y ' = 3 cos 2 x

E a solução que satisfaz a condição inicial y 0 = 4 ,   y ' 0 = y ' ' 0 = 0 .

Passo 1

Antes de começar qualquer problema de EDO, precisamos classificar o seu tipo, pois fica bem fácil de resolver, já que a gente sabe uns truques pra cada tipo.

Nesse caso, temos um EDO de ordem superior, certo? Porque ali em cima tá aparecendo a terceira derivada. Mais precisamente, esta é uma EDO de 3ª ordem não-homogênea, pois y ' ' ' aparece como a derivada de maior ordem e o cara depois do igual é diferente de zero!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já sabemos o tipo, vamos encontrar a solução geral, sabendo que:

y x = y h x + y p ( x )

Para ter y h , devemos considerar a seguinte EDO:

y ' ' ' + 4 y ' = 0

A seguir, resolveremos o polinômio característico:

r 3 + 4 r = 0   r r 2 + 4 = 0

r = 0   o u   r 2 = - 4   r = 0 ± 2 i

Para raízes complexas r = α ± β i       y h = e α ( C 2 c o s β x + C 3 sen β x ) . Então, ficamos com:

y h = C 1 + C 2 c o s 2 x + C 3 s e n ( 2 x )

Passo 3

Belezinha!!! Bora encontrar y p . Para isso, precisamos considerar quem é a f ( x ) depois do igual.

f x = 3 c o s ( 2 x )

Logo,

y p = A s e n 2 x + B c o s ( 2 x )

Passo 4

STOP! Precisamos comparar y p com y h

y h = C 1 + C 2 c o s ( 2 x ) + C 3 s e n ( 2 x )

y p = A s e n 2 x + B c o s ( 2 x )

Oooops, y p está em y h .

Então, multiplicaremos por x para que fique diferente.

y p = A x s e n 2 x + B x c o s 2 x

Ufa, bem melhor! Estão diferentes.

Passo 5

Precisamos de y ' p e   y ' ' ' p para substituir na EDO. Calculando...

y p = A x s e n 2 x + B x c o s 2 x y ' p = B c o s 2 x - 2 B x s e n 2 x + A s e n 2 x + 2 A x c o s ( 2 x ) y ' ' p = - 4 B s e n 2 x - 4 B x c o s 2 x + 4 A c o s 2 x - 4 A x s e n 2 x y ' ' ' p = - 12 B c o s 2 x + 8 B x s e n 2 x - 12 A s e n 2 x - 8 A x c o s ( 2 x )

Substituindo...

- 12 B c o s 2 x + 8 B x s e n 2 x - 12 A s e n 2 x - 8 A x c o s 2 x + 4 B c o s 2 x - 2 B x s e n 2 x + A s e n 2 x + 2 A x c o s 2 x = 3 c o s ( 2 x )

Arrumando esse monstro e juntando os termos semelhantes, ficaremos com:

- 8 B c o s 2 x - 8 A s e n 2 x = 3 c o s ( 2 x )

Comparando os dois lados da equação:

- 8 B = 3       B = - 3 8 - 8 A = 0       A = 0

Portanto,

y p = - 3 x c o s 2 x 8

Passo 6

Agora, já temos o que precisamos pra encontrar y x

y x = C 1 + C 2 c o s ( 2 x ) + C 3 s e n ( 2 x ) - 3 x c o s 2 x 8

Passo 7

Com as condições iniciais dadas, poderemos descobrir quais são os valores das constantes C 1 , C 2 , C 3 . Bora calcular, sabendo que:

y 0 = 4 y ' 0 = 0 y ' ' 0 = 0

y x = C 1 + C 2 c o s ( 2 x ) + C 3 sen 2 x - 3 x c o s 2 x 8 y ' x = - 2 C 2 s e n 2 x + 2 C 3 cos 2 x - 3 cos 2 x 8 + 6 x s e n 2 x 8 y ' ' x = - 4 C 2 cos 2 x - 4 C 3 s e n 2 x + 12 s e n 2 x 8 + 12 x c o s 2 x 8

y 0 = 4     C 1 + C 2 = 4 y ' 0 = 0       C 3 = 3 16 y ' ' 0 = 0       C 2 = 0       C 1 = 4

Pronto! Já temos as constantes e a solução.

y x = 4 + 3 s e n 2 x 16 - 3 x c o s 2 x 8

Resposta

y x = C 1 + C 2 c o s ( 2 x ) + C 3 s e n ( 2 x ) - 3 x c o s 2 x 8

y x = 4 + 3 s e n 2 x 16 - 3 x c o s 2 x 8

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