Exercícios Resolvidos de Coeficientes Constantes Não Homogênea-Coeficientes Indeterminados

Calculo 4 – UFPE – 1° EE

Use o método dos coeficientes indeterminados para resolver a EDO

y ' ' - 5 y ' + 4 y = e x

Passo 1

Vamos lá. Precisamos resolver uma EDO de segunda ordem (derivada máxima de ordem 2) e que não é homogênea (olha o e x ).

Como estamos trabalhando com uma EDO não homogênea, a sua solução pode ser escrita da seguinte forma:

y x = y h x + y p x

Em que y h x é a solução da EDO homogênea associada e y p ( x ) é a solução particular do nosso problema. E é em relação a esta solução particular que devemos utilizar o método sugerido pela questão, o método de coeficientes indeterminados.

Mas, antes disto, vamos obter a solução da EDO homogênea associada.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A EDO homogênea associada ao problema é escrita da seguinte forma:

y ' ' - 5 y ' + 4 y = 0

Portanto, a equação característica desta EDO é:

r 2 - 5 r + 4 = 0

Calculando o Δ , temos:

Δ = - 5 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 25 - 16 = 9

Como o valor de Δ foi maior que 0, a solução da EDO possui a seguinte forma:

y h x = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x

Nos resta então encontrar as raízes da equação característica. Continuando a sua resolução, vamos obter os valores r 1 = 4 e r 2 = 1 . Portanto, a solução homogênea da EDO é:

y h x = C 1 e 4 x + C 2 e x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a solução particular do nosso problema. E ela deve possui a seguinte cara: y p x = A x e x (percebam que multiplicamos e x por x pois e x foi uma solução da EDO homogênea).

Nosso papel agora é determinar quem é esse A que satisfaz a nossa EDO. Para isto, vamos ter que derivar y p x e substituir na EDO. Logo,

y p ' = A x e x + A e x

y p ' ' = A x e x + 2 A e x

Portanto,

A x e x + 2 A e x - 5 A x e x + A e x + 4 A x e x = e x

A x + 2 A - 5 A x - 5 A + 4 A x = 1

- 3 A = 1

A = - 1 3

Portanto, a solução particular da nossa EDO é:

y p x = - x e x 3

E a solução da EDO é:

y x = y h x + y p x

y x = C 1 e 4 x + C 2 e x - x e x 3

Resposta

A solução da EDO é dada por:

y x = C 1 e 4 x + C 2 e x - x e x 3

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