Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

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Enunciado

Dois discos montados sobre o mesmo eixo podem ser acoplados e girar como se fossem um só. O primeiro disco, com um momento de inercia de 3,0 k g . m 2 em relação ao eixo, é posto pra girar no sentido anti-horário a 50 r a d / s . O segundo disco, com um momento de inercia de 6,0   k g . m 2 em relação ao eixo, é posto para girar no sentido anti-horário a 100 r a d / s . Em seguida, os discos são acoplados.

  1. Qual é a velocidade angular dos discos após o acoplamento?
  2. Qual é a razão entre as energias cinéticas depois e antes do acoplamento, K f K i ?
  3. Se o segundo disco fosse posto para girar 100 r a d / s no sentido horário, qual seria a velocidade angular do conjunto após o acoplamento? Qual seria o sentido de rotação dos discos?

Passo 1

a):

Bom galera, como não há atuação de torques externos, o momento angular irá se conservar.

Então:

L i = L f

O momento angular inicial é dado por:

L i = I 1 ω 1 + I 2 ω 2

A gente não põem um sinal de menos ali encima já que eles estão rodando no mesmo sentindo, no caso, o anti-horário.

E após o acoplamento eles dois passam a girar com a mesma velocidade angular:

ω f

Então:

L f = I 1 + I 2 ω f

Então:

L i = L f

I 1 ω 1 + I 2 ω 2 = I 1 + I 2 ω f → ω f = I 1 ω 1 + I 2 ω 2 I 1 + I 2

ω f = I 1 ω 1 + I 2 ω 2 I 1 + I 2 = 3 x 50 + 6 x 100 3 + 6 ≅ 83,3   r a d / s

Passo 2

b):

Vamos lembrar como se calcula a energia cinética no caso rotacional? Assim:

K = I ω 2 2

Então, como no final os dois corpos giram juntos:

K f = I 1 + I 2 ω f 2 2 = 3 + 6 . 83,3 2 2 = 31225 J

E a energia cinética inicial é a soma das energias cinéticas:

K i = K 1 + K 2 = I 1 ω 1 2 2 + I 2 ω 2 2 2 = 1 2 I 1 ω 1 2 + I 2 ω 2 2 = 1 2 3.50 2 + 6.100 2 = 33750 J

Então:

K f K i = 31225 33750 ≅ 0,93 = 93 %

Passo 3

c):

Bom, lembra que eu disse que nós não colocamos um sinal de menos na frente do momento angular porque tinham o mesmo sentido? Agora, vamos colocar:

L i = I 1 ω 1 - I 2 ω 2 '

E:

L f = I 1 + I 2 ω f

Então:

ω f = I 1 ω 1 - I 2 ω 2 ' I 1 + I 2 = 150 - 600 6 + 3 = - 50   r a d / s

Show? Como tá negativo, é importante ver que o sentido será: horário!

Afinal de contas, a gente atribuiu o valor negativo ao sentido horário!

Resposta

a):

ω f ≅ 83,3   r a d / s

b):

0,93 = 93 %

c):

ω f = - 50   r a d / s

Horário

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