Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

Ver Teoria

Enunciado

A haste de comprimento l e massa M está livre para girar em torno de um pino fixo na direção do eixo 𝑧. A haste é largada do repouso na posição horizontal e quando chega na posição vertical, sua extremidade inferior colide na altura do centro de massa de um disco de massa M e raio R . Ele está em repouso sobre uma superfície horizontal com coeficientes de atrito cinético e estático iguais a μ C e μ E respectivamente. Ao final do trajeto a superfície se inclina com um ângulo φ em relação à horizontal.

a) Quando a haste chega na posição vertical, imediatamente antes da colisão, sua velocidade na extremidade é v i → = V e x t ( î ) . Imediatamente após a colisão o disco tem movimento só de translação com velocidade linear v f → = V e x t î 3 Determine a velocidade linear na extremidade da haste imediatamente após a colisão.

b) Após o deslizamento inicial, o disco passa a rolar sem deslizar ao longo da superfície horizontal com velocidade linear no centro de massa constante v c m → =   V 0 (   î   ) . Determine a energia cinética do disco.

c) Desenhe na figura acima todas as forças que agem sobre o disco enquanto ele rola sem deslizar na superfície horizontal (posição A) e enquanto ele sobe a superfície inclinada também rolando sem deslizar (posição B).

d) Determine a altura máxima que o disco alcança em relação à base da superfície inclinada. Justifique sua resposta.

Passo 1

a)

Vamos lá. Vamos pegar algumas informações importantes do enunciado:

A barra tem comprimento e massa l e M , respectivamente, e a velocidade inicial dela é zero.

O disco tem raio R e massa M , e a velocidade inicial dele é zero.

Em relação a superfície: Tem atrito! E depois de uma distância, ela é inclinada.

Outra coisa que podemos dizer: Tem coisa girando...isso quer dizer que temos momento angular! Sem pânico!! Acompanha aqui comigo.

Vamos ver o que ele tá pedindo.

Passo 2

Ele tá querendo a velocidade da barra depois da colisão.

Pensa comigo, a gente pode achar a velocidade angular também, porque se eu tiver uma, eu tenho a outra pela seguinte relação:

v = ω R

Onde esse R é o raio da trajetória circular.

Ah, beleza! E quem é esse raio nesse nosso problema?

Então o raio da trajetória circular é l . Aí a equação fica:

v = ω l

Aí, por exemplo, a velocidade angular da haste quando ela chega na posição mais baixa é:

V e x t = ω h a s t e l ⇒ ω h a s t e = V e x t l

Maravilha...Vamos continuar

Passo 3

Passo 4

A haste tá girando, né? E além disso, temos alguma força externa ao sistema haste+disco que esteja gerando torques? Não!! Por isso o momento angular do sistema é conservado!

Só uma observação importante: o momento angular se conserva em relação a um eixo! Mas calma, a gente já vai entender isso melhor.

O nosso momento angular está se conservando em relação ao eixo z:

L → i = L → f

I h ω → h = I h ω h → f + l M v → d i s c o

Nessa figura que a gente vê que a conservação do momento angular é em relação ao eixo z. Então os momentos angulares têm que ser calculados em relação à ele.

Passo 5

Pra gente resolver essa equação: I h ω → h = I h ω h → f + l M v → d i s c o

Precisamos do I h em relação ao eixo que tá passando pela extremidade dela. Se o valor foi dado, aí é show! Mas fica atento, porque o dado pode ser o momento de inércia da haste em relação a um eixo que passa pelo centro de massa. Se for esse o caso, também é tranquilo de resolver...a gente usa o teorema dos eixos pararelos:

I n o v o = I C M + m D 2

A gente quer saber o I e x t r e m i d a d e . E esse D é a distância entre o CM do objeto até o eixo...Vamos lá, é moleza:

I e x t r e m i d a d e = M l 2 12 + M l 2 2 = 1 3 M l 2

Show, vamos voltar pra equação de conservação do momento angular.

Passo 6

Substituindo os valores que o enunciado fala pra gente, o I e x t r e m i d a d e e o ω h a s t e que a gente achou lá no passo 2:

I h ω → h = I h ω h → f + l m v → d i s c o

1 3 M l 2 ⋅ V e x t l î = 1 3 M l 2 ⋅ ω h f + l M V e x t 3 ( î )

1 3 M l 2 ⋅ V e x t l î - l M V e x t 3 ( î ) = 1 3 M l 2 ⋅ ω h f

0 = 1 3 M l 2 ⋅ ω h f

ω h f = 0

Como a velocidade angular é zero, a velocidade linear também é!

v h f = 0

Passo 7

b)

Agora ele quer saber a energia cinética do disco depois da colisão.

Bem, enquanto o disco gira, ele vai indo para a direita, certo? Isso quer dizer que além de girar, o cento de massa tá andando também. Por isso temos K t r a n s l a ç ã o e K r o t a ç ã o :

K = K t r a n s l a ç ã o + K r o t a ç ã o

K = M V 0 2 2 + I d i s c o ω 2 2

O I d i s c o é um valor conhecido e é igual a M R 2 2 .

A velocidade angular do disco é dada pela relação do passo 2, já que temos a velocidade linear.

Então:

K = M V 0 2 2 + 1 2 M R 2 2   V 0 2 R 2

K = 3 4 M V 0 2

Show! Vamos pra próxima.

Passo 8

c)

Agora temos que fazer aquele famoso diagrama de corpo livre, que é mostrar todas as forças atuando no corpo.

Vamos lá, na posição A: Temos o peso, porque o corpo tem massa. Temos a Normal, porque o corpo está sobre uma superfície. Temos força de atrito?Opaaaa!!! Aqui mora o perigo! Vamos resolver isso agora, pra isso vamos entender o que significa rola sem deslizar.

Rolar sem deslizar só quer dizer que o ponto de contato entre a pista e o disco está em repouso, mas é só aquele pontinho lá, e é momentâneo.

Ah tá, já sei agora o que isso quer dizer....Mas, por que é importante????Porque se aquele pontinho de contato tá em repouso não há dissipação de energia mecânica pelo atrito.

O que acontece é que como a velocidade ali naquele ponto é zero, e olha lá, ele falou na letra b que aquele V _ 0   ( î ) é constante, certo? Então a aceleração é nula, logo a força resultante em ( î ) é nula…

A   f a t , na posição A, tá em î portanto ela é nula!!!!

Agora vamos ver na posição B.

O peso tá pra baixo e a normal é perpendicular a superfície. Continuamos com a condição de que a velocidade no ponto B seja nula, pra velocidade ali ser nula, a força resultante tem que ser zero! Então decompondo o peso, colocamos a   f a t , contra a tendência de movimento, de forma a anular a componente do peso. Olha só:

Passo 9

Show??

Passo 10

d)

Agora ele quer o quanto o disco conseguiu subir o plano inclinado.

Lembra que a gente falou lá na letra c que o rolamento sem deslizamento conserva energia mecânica. Então vamos fazer a conservação desde o momento em que o disco começa a girar, e está lá no plano. Até que ele para quando atinge a altura máxima.

∆ E = 0

∆ K + ∆ U = 0

0 - K _ 0 = M g H _ m a x

- 3 4 M V 0 2 = M g H _ m a x

H _ m a x = 3 4 V 0 2 g

Suave??

Resposta

a) v h a s t e = 0

b) K = 3 4   M V 0 2

c)

d) H _ m a x = 3 4 V 0 2 g

Exercícios de Livros Relacionados

Um parquinho possui um pequeno carrossel com 1,20m de raio e uma massa de 180k g . O raio de giração do carrossel (veja o problema 79 do Capítulo 10) é 91,0c m . Uma criança com 44,0k g de massa corre
Uma barra fina e homogênea com 0,5 m de comprimento e 4 k g de massa pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo centro da barra. A barra está em repouso quando uma b
Se, no sistema do Problema 64, L = 1,2m , M = 0,80k g , m = 0,30k g , e o maior ângulo entre a barra e a vertical após a colisão é 60 ° , determine a rapidez da partícula antes do impacto.
Um haltere formado por dois discos 1 e 2 iguais, de massa m , unidos por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento l = 30c m , repousa sobre uma mesa de ar horizontal. Um terceiro disco 3 de
Uma esfera maciça com 36,0N de peso sobe rolando um plano inclinado com um ângulo de 30,0 ° . Na base do plano inclinado, o centro de massa da esfera possui uma velocidade de translação de 4,90m / s .