Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

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Enunciado

(Cap 10 – Ex 63) A Figura 10-53 mostra uma barra fina e uniforme, de comprimento L e massa M , articulada na extremidade superior. A barra, que está inicialmente em repouso, é atingida por uma partícula de massa m no ponto x = 0,8 L abaixo da articulação. Suponha que a partícula grude na barra. Qual deve ser a rapidez v da partícula, de forma que após a colisão o maior ângulo entre a barra e a vertical seja 90 ° ?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Nessa questão, temos uma partícula que bate horizontalmente numa barra. Inicialmente a barra está pendurada em repouso na vertical e depois da colisão, ela sofre uma rotação.

Na figura abaixo, podemos observar o diagrama que representa o sistema depois da colisão:

A questão quer a velocidade da partícula para gerar um θ = 90 ° .

Uma coisa muito últil que a gente pode usar em problemas de colisões são as equações de conservação. Então se lembra dessa dica!

Passo 2

Aplicando a conservação da energia mecânica, temos:

∆ K + ∆ U = 0

K f - K i + U f - U i = 0

Vamos considerar que a nossa origem seja na altura inicial da partícula, então podemos dizer que a energial potencial é nula no começo do movimento.

E quando θ = 90 ° , o movimento vai terminar porque a velocidade do sistema vai ser zero. Então a energia cinética final é nula.

Então a equação de conservação da energia fica assim:

- K i + U f = 0

Substituindo as fórmulas pra energia cinética e potencial:

- 1 2 I ω 2 + M g L 2 + m g x 1 - cos ⁡ θ = 0

Passo 3

Aplicando conservação de quantidade de movimento angular, temos:

∆ L = L f - L i = 0

Sabemos que:

I f = m 0,8 L 2 + 1 3 M L 2

Logo:

m 0,8 L 2 + 1 3 M L 2 ω - 0,8 L m v = 0

ω = 0,8 L m v 1 3 M L 2 + 0,64 m L 2

Substituindo na equação da energia mecância temos:

0,32 L m v 2 1 3 M L 2 + 0,64 m L 2 - M g L 2 + m g 0,8 L 1 - cos ⁡ θ = 0

Passo 4

Simplificando, temos:

v = 0,5 M + 0,8 m 1 3 M L 2 + 0,64 m L 2 g 1 - cos ⁡ θ 0,32 L m 2

Aplicando para θ = 90 ° , temos:

v = 0,5 M + 0,8 m 1 3 M L 2 + 0,64 m L 2 g 0,32 L m 2

Resposta

v = 0,5 M + 0,8 m 1 3 M L 2 + 0,64 m L 2 g 0,32 L m 2

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