Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

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Enunciado

Enunciado das questões (Q4) e (Q5).

O sistema representado ao lado, formado por duas partículas de massas m 1 = 1   k g e m 2 = 1   k g , ligadas por uma haste em forma de gancho, de massa desprezível e comprimento l = 2 a , pode deslizar sem atrito sobre o plano horizontal x y . Uma terceira partícula, de massa m 3 = 1   k g , movendo-se sobre o plano com velocidade v → 3 = v   i → , colide com o sistema formado pelas partículas m 1 e m 2 , inicialmente parado, ficando presa no gancho.

(Q5) [1,0 ponto] Depois da colisão a velocidade angular de rotação do sistema em torno do seu centro de massa é:

  1. ω → = v / a   k →
  2. ω → = 2 v / a   k →
  3. ω → = v / 2 a   k →
  4. ω → = 3 v / 2 a   k →
  5. ω → = v / 4 a   k →

Passo 1

Bem, esse problema parece ser bem complicado, neh? Para facilitar, vamos começa-lo explicitando o que vamos fazer para encontrar a velocidade angular ω , ta legal?

Na teoria, quando temos um corpo girando, podemos associar recuperar a velocidade angular de rotação desse corpo através do momento angular L → ...

L → = I ω →

Então, se queremos o memento angular nesse problema, podemos sair em busca do momento angular e do momento de inércia I e depois... Bem... Depois é só substituir:

ω → = L → I

Capiche? Bora lá então!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o momento angular! Beleza?

De acordo com a teoria, o se não a intromissão de nenhuma força externa no sistema, então o momento angular também se conserva o que significa que o momento angular L → a n t e s antes da colisão é o mesmo momento angular depois da colisão L → (o cara que nós usaremos para encontrar ω → ):

L → a n t e s = L →

Pow! O momento angular do sistema de partículas antes da colisão, podemos encontrar também pela definição:

L → a n t e s = r → × p →

Onde r → é a distância da partícula que está em movimento antes da colisão ( r 3 ) com o centro de massa da haste...

POW! A álgebra nos garante que o módulo do produto vetorial r → × p → , portanto o módulo do momento angular L → pode ser dado por...

L → = r p sin ⁡ θ     →

Onde r é o módulo de r → e p é o módulo de p → . O ângulo θ é o ângulo entre r → e p → :

Então, por trigonometria...

L → = r p sin ⁡ θ     →

L → = r p r ⊥ r = r ⊥ p

Considerando que r ⊥ = l 2 = a ...

L → = a p

Beleza! Mas quem é p ?

Passo 3

POW! Como já comentamos, p é o módulo do vetor p → que é o momento linear da partícula 3 :

p → = m 3 v 3   i →

Ou seja... p = m 3 v 3 .

Portanto, a gente conclui que...

L → =   a m 3 v 3

POW! Mas L → é um vetor. Qual que é a direção e sentido dele?

Passo 4

Para responder essa pergunta aí, a gente pode observar que quando a partícula 3 bater na haste essa colisão vai causar um giro na haste no sentido anti-horário:

Pela regra da mão direita então, o momento angular que vai causar esse giro será...

Ou seja... Saindo da sua telinha na direção do eixo k → :

L → =   a m 3 v 3   k →

Portanto, ω → como comentamos no passo 1 será...

L → = I ω →

ω → = a m 3 v 3 I   k →

Precisamos agora achar o momento de inércia I . Bora?

Passo 5

Considerando agora que a partícula 3 já está na haste e girando com a velocidade angular ω ao redor do centro de massa.

Quem é o momento de inércia I nessa condição? Pow, de acordo com a teoria, o momento de inércia de um sistema de partículas é...

I = ∑ m   r 2

Onde r é a distância de cada massa m ao eixo de rotação, no caso, ao centro de massa que passa em cima da partícula 2 . Assim...

I = m 1 a 2 + m 2   0 2 + m 3 a 2   →

Certo:

I = m 1 a 2 + m 3 a 2  

Passo 6

Belezinha! Então, podemos concluir que...

ω → = a m 3 v 3 m 1 a 2 + m 3 a 2   k →       →

Como as massas forma dadas e valem 1   k g cada...

ω → = a v a 2 + a 2   k →       →

ω → = a v 2 a 2   k →       →

ω → = v 2 a   k →    

Resposta

Letra C.

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