Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

Ver Teoria

Enunciado

Um haltere composto por uma barra delgada de massa desprezível e comprimento L possui em cada extremidade um pequeno corpo de massa M de tamanho desprezível. O haltere é colocado para girar sem atrito em torno de um eixo horizontal perpendicular à barra, que passa por um ponto localizado a 1 4 do seu comprimento. O haltere é abandonado no repouso na posição horizontal (ver desenho). Expresse suas respostas em função de M ,   L e da aceleração gravitacional g .

  1. Calcule o momento de inércia   I do haltere em relação àquele eixo de rotação.
  2. Calcule a velocidade linear da extremidade mais comprida do haltere quando ela atinge a posição inferior.
  3. Se, nesta posição inferior, o haltere colidir com um outro corpo de massa m = 5 M 3 e tamanho também desprezível, inicialmente em repouso e que fica grudado no haltere, qual será a velocidade angular do conjunto logo depois da colisão?

Passo 1

a)

Vamos dar uma olhada numa figura melhor, haha.

Para calcular o momento de inércia do haltere em relação a esse ponto basta somar o momento de inércia dos dois pesos de massa M.

I h a l t e r e = I 1 + I 2

Passo 2

Como o momento de inérica de uma partícula pontual é dado por: I = M d 2 , a gente vai ter:

I h a l t e r e = M d 1 2 + M d 2 2 = M ( d 1 2 + d 2 2 )

Daí, temos que d 1 = 3 L 4   e   d 2 = L 4 . Substituindo...

I h a l t e r e = M 9 L 2 16 + L 2 16 = 10 M L 2 16 = 5 M L 2 8

Passo 3

b)

Pra simplificar as contas, vamos fazer uma mudança de refencial de “solo”. Ao invés de considerar o solo onde o desenho da questão mostrou vamos considerar na reta horizontal que passa pelo eixo de rotação.

Depois que o haltere girar a gente vai ter :

Fazendo a conservação de energia mecânica, teremos:

E m e c i = E m e c f

No caso lá da figura 1 é fácil de ver que E m e c i = 0 , né?

Tanto a energia cinética vai ser zero, pois eles sairão do repouso, quanto o potencial também, pois como a barra toda vai estar no nosso referencial zero, o h da formulinha será zero.

Passo 4

Daí só vai restar...

E m e c f = 0

Nesse caso, nossa E m e c f vai ser justamente a soma da energia potencial com a energia cinética de rotação do haltere.

Ah, vale lembrar que o ponto em que a gente vai calcular a energia potencial é o centro de massa do haltere que se localiza exatamente no meio da barra. Assim, vamos ter:

U + K r o t = 0

U = - K r o t

Como U = 2 M g h e K r o t = I ω 2 2 ...

2 M . g . h = - I ω 2 2

2 M g . - L 4 = - 5 8 M L 2 . ω 2 2

Isolando o ω , a gente vai ter:

ω 2 = 8 g 5 L

ω = 8 g 5 L

Passo 5

Mas ele pediu a velocidade linear da bola que está mais embaixo, que a gente calcula por :

v = ω . R

Nosso raio será R = 3 L 4 . Finalmente substitundo o que a gente achou...

v = 8 g 5 L . 3 L 4 = 9 g L 10

Passo 6

c)

Beleza, a gente sabe que vai ter uma força P . Mas quando o haltere está na vertical a força   P   vai estar na mesma linha de atuação do eixo de rotação. Saca só!

Dessa forma o torque nesse ponto é nulo e a gente vai poder calcular usando conservação do momento angular. :D~

L i = L f

I i . ω i = I f . ω f

A parte inicial a gente já sabe, e é simples de calcular, só substituir o que a gente já calculou na a e b.

I i . ω i = 5 M L 2 8 8 g 5 L = M L 5 g L 8

O nosso I f vai mudar um pouco, mas também é tranquilo de calcular. É só somar o momento de inércia do corpo que vai ser colidido com o haltere.

I f = I i + I c o r p o

I c o r p o = m d 2 = 5 3 M . 9 16 L 2 = 15 16 M L 2

I f = 5 M L 2 8 + 15 M L 2 16 = 25 M L 2 16

Passo 7

I i . ω i = I f . ω f

ω f = I i ω i I f = M L 5 g L 8 25 16 M L 2 = 4 5 2 g 5 L

Resposta

  1. I = 5 M L 2 8
  2. v = 9 g L 10
  3. ω f = 4 5 2 g 5 L

Exercícios de Livros Relacionados

Um parquinho possui um pequeno carrossel com 1,20m de raio e uma massa de 180k g . O raio de giração do carrossel (veja o problema 79 do Capítulo 10) é 91,0c m . Uma criança com 44,0k g de massa corre
Uma barra fina e homogênea com 0,5 m de comprimento e 4 k g de massa pode girar em um plano horizontal em torno de um eixo vertical que passa pelo centro da barra. A barra está em repouso quando uma b
Se, no sistema do Problema 64, L = 1,2m , M = 0,80k g , m = 0,30k g , e o maior ângulo entre a barra e a vertical após a colisão é 60 ° , determine a rapidez da partícula antes do impacto.
Um haltere formado por dois discos 1 e 2 iguais, de massa m , unidos por uma barra rígida de massa desprezível e comprimento l = 30c m , repousa sobre uma mesa de ar horizontal. Um terceiro disco 3 de
Uma esfera maciça com 36,0N de peso sobe rolando um plano inclinado com um ângulo de 30,0 ° . Na base do plano inclinado, o centro de massa da esfera possui uma velocidade de translação de 4,90m / s .