Exercícios Resolvidos de Colisões com Rotação

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Enunciado

Uma pessoa está com os braços abertos sobre uma plataforma giratória (com atrito desprezível no giro) presa ao chão. Nessa posição, o momento de inércia da pessoa com a plataforma é I = 1,99   k g . m 2 em relação ao eixo de rotação da plataforma. Um disco uniforme de massa m = 2,00   k g raio r = 0,10   m é lançado com velocidade v → = - 2,00   m / s   i → e velocidade angular ω → = - 80,0   r a d / s   k → conforme a figura. O disco é agarrado pela mão e para de girar, ficando seu centro a uma distância d = 1,00   m do centro do sistema pessoa-plataforma, na altura dos braços. Determine:

a) O vetor momento angular do disco em relação ao seu centro de massa antes de ser agarrado.

b) O vetor momento angular total do disco em relação ao centro do sistema pessoa-plataforma na altura dos braços, antes de ser agarrado.

c) O momento de inércia do conjunto plataforma-pessoa-disco em relação ao eixo de rotação da plataforma, após o disco ser agarrado.

d) Qual o vetor velocidade angular Ω → do conjunto plataforma-pessoa-disco após o disco ser agarrado pela mão? Girará o conjunto no sentido horário ou anti-horário?

Passo 1

a)

Pra calcular o momento angular é tranquilinho, só utilizar a relação:

L c m → = I c m . ω →

Como, nesse caso I c m = m r 2 2 , teremos:

L c m → = m r 2 2 . ω →

Substituindo os valores...

L c m → = 2   .   0,1 2 2 . - 80   k ^

L c m → = - 0,80   k ^   k g . m 2 s

Passo 2

b)

É bom tomar bastante cuidado com os vetores aqui!!

O momento angular nesse caso será dado pela soma do momento angular do centro de massa com a definição, é uma espécie de Teorema dos Eixos Paralelos para o momento angular, saca só:

L → = r c m → × P → + L c m →

Decompondo vetorialmente, teremos:

L → = x c m i ^ + y c m j ^ × m v →   i ^ + L c m →

L → = x c m i ^ + 1 j ^ × 2,00 . - 2,00   i ^ + L c m →

Daí...

L → = 4,00   k ^ + L c m →

L → = 4,00   k ^ - 0,80   k ^

O que nos dá como resposta...

L → = 3,20   k ^   k g . m 2 s

Passo 3

c)

Sabemos que o I t o t a l será a soma dos momentos de inércia, logo:

I = I c a r a + I d i s c o

Como o disco gira em torno de um eixo distante, pelo Teorema dos Eixos Paralelos, teremos:

I d i s c o = I c m + m d 2

I A = 0,01 + 2,00   .   1,00 2

I d i s c o = 2,01

I t o t a l = I c a r a + I d i s c o

I t o t a l = 1,99 + 2,01

I t o t a l = 4,00   k g . m 2

Passo 4

d)

Não haverá torque pois a força resultante do sistema é o peso, que passa pelo eixo de rotação, logo o momento angular se conservará. Dessa forma, escrevemos:

L i → = L f →

L → = I . Ω →

Isolando o Ω → :

Ω → = L → I

Ω → = 3,2 4,00

Ω → = 0,80   k ^   r a d s

Que é o sentido anti-horário.

Resposta

a) L c m → = - 0,80   k ^   k g . m 2 s

b) L → = 3,20   k ^   k g . m 2 s

c) I t o t a l = 4,00   k g . m 2

d) Ω → = 0,80   k ^   r a d s

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