Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

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Enunciado

(Adaptada) Um tubo de aço de paredes finas com 0,20   m de diâmetro é utilizado para transportar vapor saturado a uma pressão de 20   b a r através de um ambiente onde a temperatura do ar é 25 o C e o coeficiente de convecção na superfície externa do tubo é 20   W . m - 2 . K - 1 . A resistência convectiva do lado vapor pode ser desprezível.

a Qual é a perda de calor por unidade de comprimento para o tubo sem isolamento? A emissividade do aço pode ser considerada 0,8 .

b Encontre a equação que descreve a temperatura da superfície externa do isolamento em função dos parâmetros conhecidos (polinômio de quarto grau) se uma camada de isolamento térmico ( k = 0,058   W . m - 1 . K - 1 e ε = 0,8 ) com 50   m m de espessura for aplicada ao redor do tubo.

c Após resolver o polinômio de quarto grau, você achou uma temperatura de T s , o = 305   K . Estime a perda de calor com o isolamento.

Passo 1

a Qual é a perda de calor por unidade de comprimento para o tubo sem isolamento? A emissividade do aço pode ser considerada 0,8 .

Sem o isolamento, a gente tem a situação simples de uma casca cilíndrica envolvida por um grande ambiente e que sofre convecção externa. Esquematizando, fica mais ou menos assim:

Como o enunciado diz que o vapor é saturado, com a pressão que foi dada ( 20   b a r ) podemos achar sua temperatura em uma tabela de propriedades da água saturada, encontrando T s , o = 486 K .

Considerando então que a resistência de convecção interna é desprezível, a gente pode assumir que a temperatura da superfície interna da casca cilíndrica é igual à temperatura do vapor.

E, como a parede do tubo é fina, também desprezamos a resistência por condução, logo a temperatura da superfície externa também equivale a 486 K .

Bora fazer um balanço de energia na superfície do tubo, que é onde a energia é dissipada pro ambiente:

E ˙ e = E ˙ s

q = q c o n v + q r a d

q = h . A . T s , o - T ∞ + ε . σ . A . T s , o 4 - T s u r 4

Em que a perda de calor é dada pela soma dos calores de convecção e radiação. Ou seja, calcular a perda de calor equivale a calcular quanto entra de calor na superfície ( q ).

Bora calcular cada uma das taxas! Para a taxa de convecção:

q c o n v = h . A . T s , o - T ∞

q c o n v = 20 W m 2 . K . π . 0,2   m . L . 486 - 298   K

q c o n v = ( 2362,5 . L )   W

Escrevendo em termos da taxa por unidade de comprimento, a gente fica com:

q c o n v ' = 2362,5   W . m - 1

Para a taxa de radiação:

q r a d = ε . σ . A . T s , o 4 - T s u r 4

q r a d = 0,8 . 5,67 x 10 - 8 . π . 0,2   m . L . 486 4 - 298 4   K 4

Assim como fizemos antes:

q r a d ' = 1365,2   W . m - 1

OBS: Você também pode escrever as taxas em função das resistências, mas, se você lembrar, a expressão da resistência de radiação é bem feiosa. Então, geralmente quando trabalhamos com radiação, é mais fácil usar direto a expressão das taxas.

Dessa maneira, a gente pode já substituir as taxas encontradas:

q ' = 2362,5   W . m - 1 + 1365,2   W . m - 1

q ' = 3727,7   W . m - 1

Passo 2

b Encontre a equação que descreve a temperatura da superfície externa do isolamento em função dos parâmetros conhecidos (polinômio de quarto grau) se uma camada de isolamento térmico ( k = 0,058   W . m - 1 . K - 1 e ε = 0,8 ) com 50   m m de espessura for aplicada ao redor do tubo.

Se aplicarmos uma camada de isolante em volta da casca cilíndrica, estaremos adicionando uma resistência de condução no sistema, como mostrado abaixo:

Como a gente não conhece as temperaturas, precisamos encontrar alguma delas pra poder calcular a taxa!

Ao fazermos o balanço de energia na superfície mais externa (que agora é a superfície externa do isolamento), teremos o seguinte:

E ˙ e = E ˙ s

q c o n d = q c o n v + q r a d

T s , i - T s , o R c o n d = h . A . T s , o - T ∞ + ε . σ . A . T s , o 4 - T s u r 4

Substituindo as expressões para a resistência térmica em paredes cilíndricas ( R c o n d ) e a área de troca térmica ( A )

2 π . L . k . T s , i - T s , o ln ⁡ r 1 / r 2 = h . π . D o . L . T s , o - T ∞ + ε . σ . ( π . D o . L ) . T s , o 4 - T s u r 4

2 . k . T s , i - T s , o ln ⁡ r 1 / r 2 = h . D o . T s , o - T ∞ + ε . σ . D o . T s , o 4 - T s u r 4

Pronto! Note que a equação acima é um polinômio de quarto grau em T s , o e que todos os outros parâmetros dela são conhecidos!

Passo 3

Sabendo que a temperatura da superfície externa do isolamento equivale a T s , o = 305   K , a gente pode calcular a taxa de calor de condução, pois ela representa a mesma quantidade de energia que é perdida pelo tubo por convecção e radiação.

Temos que:

q c o n d = T s , i - T s , o R c o n d

A resistência de condução na parede cilíndrica pode ser calculada por:

R c o n d = ln ⁡ r 1 / r 2 2 π . L . k

Então:

R c o n d = ln ⁡ ( 0,3   m ) / ( 0,2   m ) 2 π . L . 0,058   W . m - 1 . K - 1

R c o n d = 1,11 L   m . K . W - 1

Substituindo na expressão da taxa de calor:

q c o n d = 486 - 305   K 1,11 L   m . K . W - 1

Como não sabemos o comprimento do tubo, a gente pode simplesmente determinar a taxa de calor por unidade de comprimento ( q c o n d ' ):

q c o n d ' = q c o n d L = 211,2   W . m - 1

Logo, a perda de calor também será:

q ' = 211,2   W . m - 1

Resposta

a

  q ' = 3727,7   W . m - 1

b

2 . k . T s , i - T s , o ln ⁡ r 1 / r 2 = h . D o . T s , o - T ∞ + ε . σ . D o . T s , o 4 - T s u r 4

c

q ' = 211,2   W . m - 1

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