Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

Questão 6, UFRJ, P1-2007.1

Forneça a formulação matemática para o problema de condução de calor em um cilindro oco de raio interno a , raio externo b e altura H , que encontra-se inicialmente na temperatura uniforme T 0 .

Uma das superfícies de topo do cilindro é aquecida por um fluxo de calor uniforme q 0 , enquanto a outra superfície de topo é isolada termicamente.

O cilindro troca calor internamente por convecção com um meio na temperatura T i , com coeficiente de transferência de calor h i . O cilindro troca calor através de sua superfície lateral externa com um meio na temperatura T e , com coeficiente de transferência de calor h e .

As temperaturas dos meios externo e interno, assim com os coeficientes de transferência de calor por convecção, são uniformes. Não há geração interna de energia no cilindro.

Passo 1

Como queremos fornecer a formulação matemática, precisamos obter uma equação a partir da equação de calor que, no caso de simetria cilíndrica, é dada por:

1 r . ∂ ∂ r k . r . ∂ T ∂ r + 1 r 2 . ∂ ∂ ϕ k . ∂ T ∂ ϕ + ∂ ∂ z k . ∂ T ∂ z + q ˙ = ρ . c p . ∂ T ∂ t

Com as informações fornecidas pelo problema, podemos fazer as seguintes considerações:

  • Condução bidimensional nas direções radial r e axial z .
  • Não há geração interna de energia.
  • Propriedades constantes.

Assim, aplicando essas considerações à equação de calor, teremos:

k r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + k ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = ρ . c p . ∂ T ∂ t

1 r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = 1 α . ∂ T ∂ t

Onde α = k / ρ . c p .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para condição inicial, o problema nos disse que a temperatura é inicialmente uniforme e igual a T 0 . Dessa forma:

T r , z , t = T 0 p a r a   t = 0

Passo 3

Para condições de contorno, como estamos trabalhando com condução bidimensional, teremos duas condições para a direção radial, e duas para a direção axial.

De acordo com o problema, uma das superfícies de topo do cilindro é aquecida por um fluxo de calor uniforme q 0 , enquanto a outra superfície de topo é isolada termicamente. Dessa forma, podemos dizer que:

- k ∂ T ∂ z = q 0 p a r a   z = 0

- k ∂ T ∂ z = 0 p a r a   z = H

Para as condições radiais, o problema nos disse que ambas as superfícies trocam calor por convecção, dessa forma:

k ∂ T ∂ r + h i . T i - T r , z , t = 0 p a r a   r = a

k ∂ T ∂ r + h e . T e - T r , z , t = 0 p a r a   r = b

Resposta

1 r . ∂ ∂ r r . ∂ T ∂ r + ∂ ∂ z ∂ T ∂ z = 1 α . ∂ T ∂ t

T r , z , t = T 0 p a r a   t = 0

- k ∂ T ∂ z = q 0 p a r a   z = 0

- k ∂ T ∂ z = 0 p a r a   z = H

k ∂ T ∂ r + h i . T i - T r , z , t = 0 p a r a   r = a

k ∂ T ∂ r + h e . T e - T r , z , t = 0 p a r a   r = b

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