Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

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Enunciado

Existe a possibilidade de que no caso de uma tubulação, aumente-se a espessura de um certo isolante e isso aumente a transferência de calor ao invés de diminuir, tal como seria desejado ao aumentar a espessura de qualquer isolante. Isso nunca acontece quando a geometria é uma placa plana.

Explique o porquê, justificando MATEMATICAMENTE a sua resposta.

Passo 1

Isso pode acontecer porque, embora o isolante acrescente uma resistência térmica proporcional à espessura do isolante, a área externa também aumenta, aumentando a transferência de calor por convecção com o ambiente.

Vamos utilizar as seguintes variáveis pra resolver o problema:

  • q : Taxa de transferência de calor;
  • T 1 : Temperatura na superfície interna do isolante;
  • T ∞ : Temperatura do ambiente;
  • R i s o : Resistência térmica do isolamento;
  • R c o n v : Resistência térmica de convecção;
  • r i s o : Raio externo do isolante;
  • r 1 : Raio da superfície interna do isolante;
  • h : Coeficiente convectivo entre o tubo e o ambiente;
  • L : Comprimento do tubo.

A taxa de transferência de calor pode ser escrita em função das resistências térmicas da seguinte forma:

q = T 1 - T ∞ R i s o + R c o n v

Passo 2

Como estamos trabalhando com uma superfície cilíndrica, a resistência térmica de isolamento e a resistência térmica de convecção serão:

R i s o = ln ⁡ r i s o / r 1 2 π L k i s o

R c o n v = 1 h A = 1 2 π r i s o L h

Assim, a taxa de transferência de calor será:

q = T 1 - T ∞ ln ⁡ r i s o / r 1 2 π L k i s o + 1 2 π r i s o L h

Supondo todos os parâmetros fixos, exceto o raio externo de isolamento r i s o , haverá um valor para o qual o isolamento deixará de reduzir a transferência de calor e vai passar a aumentar a transferência de calor.

Esse valor pode ser obtido se derivarmos a expressão da taxa de transferência de calor em relação a r i s o e igualarmos a zero.

d q d r i s o = 0

Derivando a expressão de q em relação a r i s o , teremos:

d q d r i s o = - T 1 - T ∞ ln ⁡ r i s o / r 1 2 π L k i s o + 1 2 π r i s o L h 2   . 1 r i s o . 1 2 π L k i s o - 1 r i s o 2 . 1 2 π L h = 0

Analisando a expressão acima, veremos que ela será nula se:

1 r i s o . 1 2 π L k i s o - 1 r i s o 2 . 1 2 π L h = 0

Reorganizando a equação:

1 r i s o . 1 2 π L k i s o = 1 r i s o 2 . 1 2 π L h

1 k i s o = 1 r i s o . h

r i s o = k i s o h

Esse será o raio crítico de isolamento.

Ou seja, caso r i s o > r c r , o isolante irá aumentar a transferência de calor. Mas se r i s o < r c r , o isolante irá reduzir a transferência de calor.

Resposta

r c r = k i s o h

Caso r i s o > r c r , o isolante irá aumentar a transferência de calor. Mas se r i s o < r c r , o isolante irá reduzir a transferência de calor.

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