Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

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Enunciado

Uma casca esférica composta, com raio interno r 1 = 0,25   m é construída de chumbo ( k A = 35,3   W . m - 1 . K - 1 ) de raio externo r 2 = 0,30   m e aço inoxidável A I S I   302 ( k B = 15,1   W . m - 1 . K - 1 ) de raio externo r 3 = 0,31   m . A cavidade é preenchida com resíduos radioativos que geram calor a uma taxa de q ˙ = 5 . 10 5   W . m - 3 . Propõe-se que o recipiente seja submerso em águas oceânicas que estão a uma temperatura T ∞ = 10 o C e fornecem um coeficiente de convecção uniforme h = 500   W . m - 2 . K - 1 para a superfície externa do contêiner. Existe algum problema associado a essa proposta?

Admita que a temperatura de fusão dos materiais são: T f ,   c h u m b o = 327,6 o C e T f ,   a ç o = 1410 o C .

Passo 1

Você deve ter se perguntado: “Como assim ‘algum problema associado à proposta’?” Então, muitas vezes em processos de transferência de calor, a gente tá interessado em saber se um sistema “aguenta” a quantidade de calor gerada, ou seja, se alguma peça vai derreter.

Sabendo disso, nosso objetivo nessa questão é calcular as temperaturas de cada superfície e garantir que elas não ultrapassem os pontos de fusão do respectivo material.

Agora que sabemos o que fazer, bora dar uma olhadinha num esquema da situação:

Como não há geração na casca esférica composta em si, a gente pode construir o circuito térmico representativo do sistema:

Em que as resistências de condução em geometrias esféricas têm uma expressão diferente da placa plana e das geometrias cilíndricas:

R c d = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k

Passo 2

Pelo circuito, a gente pode escrever que:

q = T 1 - T ∞ R c d , A + R c d , B + R c v

A gente viu que a fonte calor desse sistema são os resíduos radioativos no interior da cavidade, que geram uma taxa volumétrica de q ˙ = 5 . 10 5   W . m - 3 .

Então, para achar a taxa de calor que flui pela esfera até o ambiente, basta a gente multiplicar pelo volume da cavidade:

q = q ˙ . V                           →                             q = q ˙ . 4 π 3 . r 1 3

Dessa forma:

q = 5 . 10 5   W . m - 3 . 4 π 3 . 0,25   m 3

q = 32725   W

Passo 3

Então, só nos resta calcular as resistências no circuito térmico que fizemos!

Para a condução no chumbo:

R c d , A = 1 / r 1   - 1 / r 2 4 π . k A

R c d , A = 0,25   m - 1 - 0,30   m - 1 4 π . 35,3   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 1,503 . 10 - 3   K . W - 1

Para a condução no aço inoxidável:

R c d , B = 1 / r 2   - 1 / r 3 4 π . k B

R c d , A = 0,30   m - 1 - 0,31   m - 1 4 π . 15,1   W . m - 1 . K - 1

R c d , A = 5,667 . 10 - 4   K . W - 1

Calculando ainda a resistência de convecção:

R c v = 1 A . h                             →                                 R c v = 1 4 π . r 3 2 . h

R c v = 1 4 π . 0,31   m 2 . 500   W . m - 2 . K - 1

R c v = 1,656 . 10 - 3   K . W - 1

Passo 4

Substituindo na expressão da taxa, teremos:

q = T 1   - T ∞ R c d , A + R c d , B + R c v

32725   W = T 1 - 2 8 3   K 1,503 . 10 - 3   K . W - 1 + 5,667 . 10 - 4   K . W - 1 + 1,656 . 10 - 3   K . W - 1

Isolando a temperatura da superfície T 1 , a gente fica com:

T 1 = 2 8 3   K + 32725   W . ( 3,726 . 10 - 3   K . W - 1 )

T 1 = 4 05   K

Passo 5

Como T 1 é a temperatura na superfície do chumbo e seu valor é menor que o da temperatura de fusão desse material ( 600,6   K ), então o chumbo não vai derreter ali.

Mas e as demais temperaturas ( T 2 e T 3 )? Temos que calculá-las pra saber se os materiais vão derreter? Não! “Mas por quê?”

Note que T 1 é a maior temperatura do sistema, pois ela é a temperatura da superfície mais próxima da região onde a energia é gerada. Então:

T 1 > T 2 > T 3

Se o chumbo não derrete na maior temperatura do sistema ( T 1 ), então ele também não derreterá na superfície mais externa (a temperatura de T 2 ).

E o aço? A temperatura de fusão do aço é de 1410 o C (ou 1683   K ), que é bem maior que T 1 e, consequentemente, também será maior que T 2 e T 3 . Logo, ele também não derreterá!

Resposta

Não há nenhum problema associado ao derretimento das peças utilizadas no sistema.

Nenhuma temperatura das superfícies supera os pontos de fusão do aço e do chumbo!

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