Enunciado

Uma parede cilíndrica é composta de dois materiais de condutividades térmicas k A e k B que são separados por um aquecedor elétrico delgado, para o qual as resistências de contato na interface são desprezíveis.

O líquido bombeado através do tubo encontra-se a uma temperatura T ∞ , i e fornece um coeficiente de convecção h i na superfície interna da composição. A superfície externa é exposta ao ar ambiente, que está a T ∞ , o e fornece um coeficiente de convecção h o . Em condições de regime estacionário, um fluxo de calor uniforme q h ' ' é dissipado pelo aquecedor.

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

b Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ( T h ).

c Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno ( q i ' ) e externo ( q o ' ). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?

Passo 1

a Esboce o circuito térmico equivalente do sistema e expresse todas as resistências em termos das variáveis relevantes.

Como a gente já tá acostumado, bora fazer o circuito térmico. Para os sistemas radiais (cilindros e esferas), a gente só precisa fazer o circuito do centro pra fora, porque é simétrico pro outro lado!

Identificando as temperaturas em cada superfície (nós do circuito) e desenhando as resistências entre elas, a gente fica com:

Como sabemos, as expressões de resistência térmica de convecção são as mesmas no caso de placa plana, cilindros ou esferas, o que muda é o cálculo da área de troca térmica ( A ).

Para o caso acima, teremos:

R c v . i = 1 h i . A i

  R c v . o = 1 h o . A o

Expressando as áreas em termos dos raios, temos que:

R c v . i = 1 h i . 2 π . L . r i

R c v . o = 1 h o . ( 2 π . L . r o )

Mas a gente não conhece o comprimento do cilindro, e agora? Nem precisa, a gente pode simplesmente expressar as resistências relativas ao comprimento do cilindro:

R c v , i ' = 1 h i . 2 π . r i

R c v , o ' = 1 h o . ( 2 π . r o )

“Show! Mas e as resistências de condução?” Ah, essas daí são diferentes do caso da parede plana e também diferem dos casos da esfera. Para corpos cilíndricos, a gente viu que:

R c d = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k

Então, escrevendo as resistências térmicas de condução nas cascas cilíndricas A e B , a gente fica com:

R c d , A = ln ⁡ r 3 / r 2   2 . π . L . k A

R c d , B = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . L . k B

Pela mesma estratégia que fizemos com as resistências de convecção, ficamos com:

R c d , A ' = ln ⁡ r 3 / r 2   2 . π . k A

R c d , B ' = ln ⁡ r 2 / r 1   2 . π . k B

Agora a gente já pode desenhar o circuito com as respectivas resistências em termos dos parâmetros relevantes do problema:

Passo 2

b Obtenha uma expressão que pode ser utilizada para determinar a temperatura do aquecedor ( T h ).

Agora a gente precisa calcular a temperatura do aquecedor. Para isso, a gente pode tentar fazer o balanço de energia no ponto referente ao aquecedor!

Pelo circuito a gente pode ver que uma certa energia entra pelo ponto aquecedor ( q h ' ' ) e que ela vai se dissipar por dois caminhos diferentes ( q i ' e q o ' ). Como o enunciado dá os fluxos de saída por unidade de comprimento, para igualar entrada e saída precisamos multiplicar q h ' ' pelo perímetro do cilindro ( 2 π . r 2 ) .

Sendo assim:

q h ' ' . 2 π . r 2 = q i ' + q o '

OBS: Se você achar essa forma muito complicada, você pode fazer o balanço na forma de taxa de calor (e não por fluxo), daí você vai ver que o comprimento vai cancelar em todos os termos da equação!

Continuando com a equação, a gente pode substituir as expressões dos calores:

q h ' ' . 2 π . r 2 = T h - T ∞ , i R c v , i ' + R c d , B ' + T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o '

Agora é álgebra, acabou a Transferência de Calor! A gente só tem que isolar a temperatura T h da equação. Então, bora lá!

q h ' ' . 2 π . r 2 = T h - T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T h - T ∞ , o . ( R c v , i ' + R c d , B ' ) R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o '

q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' = ( T h - T ∞ , i ) . R c d , A ' + R c v , o ' + T h - T ∞ , o . ( R c v , i ' + R c d , B ' )

Colocando a temperatura T h em evidência, a gente fica com:

q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' = T h . R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

E finalmente:

T h = q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

Passo 3

c Obtenha uma expressão para a razão entre os fluxos de calor para os fluidos interno ( q i ' ) e externo ( q o ' ). Como as variáveis do problema podem ser ajustadas para minimizar essa razão?

A razão entre os calores ( Q ) é dada por:

Q = q o ' q i '                       →                       Q = q o ' . q i ' - 1

Substituindo as expressões de q o ' e de q o ' , a gente fica com:

Q = T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o ' . T h - T ∞ , i R c v , i ' + R c d , B ' - 1

Q = T h - T ∞ , o R c d , A ' + R c v , o ' . R c v , i ' + R c d , B ' T h - T ∞ , i

Q = T h - T ∞ , o T h - T ∞ , i . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o '

Para minimizar essa razão, a gente precisa diminuir os termos do numerador e/ou aumentar aqueles do denominador. De maneira, prática podemos:

  1. Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta T ∞ , i )
  2. Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui T ∞ , o )
  3. Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta h i )
  4. Aumentar a espessura da casca cilíndrica A (aumenta R c d , A )
  5. Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui R c d , B )

Entre outras modificações quanto aos materiais e os fluidos.

Resposta

( a )

b

T h = q h ' ' . 2 π . r 2 . R c v , i ' + R c d , B ' . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , i . R c d , A ' + R c v , o ' + T ∞ , o . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o ' + ( R c v , i ' + R c d , B ' )

c

Q = T h - T ∞ , o T h - T ∞ , i . R c v , i ' + R c d , B ' R c d , A ' + R c v , o '

E as possíveis modificações para diminuir seu valor são listadas abaixo:

  1. Aquecer o fluido que passa pelo interior (aumenta T ∞ , i )
  2. Resfriar o fluido que passa pelo interior (diminui T ∞ , o )
  3. Aumentar a velocidade do fluido no interior (aumenta h i )
  4. Aumentar a espessura da casca cilíndrica A (aumenta R c d , A )
  5. Diminuir a espessura da casca cilíndrica B (diminui R c d , B )

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