Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

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Enunciado

Considere um fio elétrico longo com raio r 1 = 0,2   c m e condutividade térmica de 15   W / m ° C . Por conta da corrente elétrica no fio, calor é gerado a uma taxa volum��trica uniforme 50   W / c m 3 .

O fio é revestido por um isolante elétrico cerâmico de 0,5   c m de espessura, cuja condutividade térmica é de 1,2   W / m ° C . A temperatura da superfície externa do isolante é T s = 45 ° C .

Supondo propriedades termofísicas constantes e contato perfeito entre o fio e o isolante, no regime permanente, calcule:

i Fluxo de calor na superfície externa do isolante elétrico;

i i Temperatura na interface entre o fio e o isolante;

i i i Temperatura no centro do fio.

Passo 1

i Fluxo de calor na superfície externa do isolante elétrico;

A taxa de transferência de calor q pode ser calculada a partir do calor gerado no fio q ˙ da seguinte forma:

q = q ˙ . V = q ˙ . π r 1 2 L

q = 50 × 10 6 × π × 0,002 2 × L

q = 628,32 L

O fluxo de calor será dado por:

q ' ' = q A s = q 2 π r 2 L = 628,32 L 2 π × 0,007 × L

Onde r 2 = r 1 + t , sendo t da espessura da camada de isolante.

q ' ' = 628,32 L 2 π × 0,007 × L

q ' ' = 14286   W / m 2

Passo 2

i i Temperatura na interface entre o fio e o isolante;

Como já temos a taxa de transferência de calor e a temperatura na superfície externa do isolante, podemos calcular a temperatura na interface entre o fio e o isolante a partir do seguinte circuito térmico:

Assim:

q = T 1 - T s ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k i s o

T 1 = T s + q . ln ⁡ r 2 / r 1 2 π . L . k i s o

Substituindo os valores:

T 1 = 45 + 628,32 L × ln ⁡ 0,007 / 0,002 2 π L × 1,2

Passo 3

i i i Temperatura no centro do fio.

A taxa de calor no fio pode ser escrita como:

q = - k f A . d T d r

q = k f . A 1 . T c - T 1 r 1

q = k f . 2 π r 1 L . T c - T 1 r 1

q = k f . 2 π L . T c - T 1

T c = T 1 + q k f . 2 π L

Substituindo os valores, teremos:

T c = 149,39 + 628,32 L 15 × 2 π L

Resposta

i q ' ' = 14,286   k W / m 2

i i T 1 = 149,39 ° C

i i i T c = 156,06 ° C

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