Exercícios Resolvidos de Condução em Sistemas Radiais

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Enunciado

Uma corrente elétrica de 700   A flui através de um cabo de aço inoxidável de diâmetro 5   m m e resistência elétrica de R e l ' = 6 x 10 - 4   Ω . m - 1 (ou seja, por metro de comprimento de cabo). O cabo encontra-se em um ambiente que está a uma temperatura de 30 o C , e o coeficiente total de transferência de calor, associado à convecção entre o cabo e o ambiente, é de aproximadamente h = 25   W . m - 2 . K - 1 .

a Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura em sua superfície?

b Se um revestimento delgado for aplicado sobre o cabo, com uma resistência térmica de contato de 0,02   m 2 . K . W - 1 , quais serão as temperaturas das superfícies do isolamento e do cabo?

c Há preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas elevadas. Qual a espessura do isolamento ( k = 0,5   W . m - 1 . K - 1   ) que produzirá o menor valor para a temperatura máxima na camada de isolamento? Qual será o valor da temperatura máxima quando essa espessura de isolamento for utilizada?

Passo 1

a Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura em sua superfície?

Nosso primeiro desafio é o mais simples: a gente tem que calcular a temperatura no fio sem isolamento algum, ou seja, é só um corpo cilíndrico com geração de calor!

Como passa uma corrente elétrica pelo fio, a gente já sabe que vai gerar energia térmica ( q ˙ e l ) pelo efeito Joule. Então, bora escrever a expressão do fluxo de calor:

q ˙ e l = R e l . I 2

O enunciado não nos deu a informação quanto à resistência elétrica ( R e l ) do fio, mas sim a resistência por unidade de comprimento do fio ( R e l ' ). Então, a gente pode escrever a taxa de calor gerada em termos do comprimento também:

q e l ' = R e l ' . I 2

Ou a gente pode fazer tudo em termos de taxa de calor, que depois o comprimento vai cortar! Essa é sempre uma boa estratégia, então vamos fazer isso!

Escrevendo em termos da taxa:

q e l = 6 x 10 - 4 Ω m . L . 700   A 2

q e l = ( 294 . L )   W

Passo 2

Com a taxa de calor já calculada, bora fazer um balanço de energia na superfície do fio:

Então, conseguimos perceber que a energia gerada no volume do cilindro ( q ˙ e l ) entra na superfície externa e ela é dissipada por convecção.

Dessa maneira, a gente fica com o seguinte balanço de energia na superfície:

E ˙ e = E ˙ s

q e l = q c v

Fazendo um circuito térmico simples, temos:

Substituindo a expressão da taxa por convecção ( q ), a gente fica com:

q e l = T s - T ∞ R c v

Como a gente quer determinar a temperatura da superfície, bora isolar o termo T s :

T s = T ∞ + q e l . R c v

Com a expressão da resistência R c v ' , teremos:

T s = T ∞ + q e l . 1 π . D . L . h

Substituindo os valores do enunciado, a gente fica com:

T s = 303   K + 294 . L   W π . 0,005   m . L . ( 25   W . m - 2 . K - 1 )

Viu como cortou o comprimento do fio! ^^ Agora é só fazer os cálculos e:

T s = 1051,7   K

Passo 3

b Se um revestimento delgado for aplicado sobre o cabo, com uma resistência térmica de contato de 0,02   m 2 . K . W - 1 , quais serão as temperaturas das superfícies do isolamento e do cabo?

Na nova situação, a gente vai pegar aquele mesmo fio da letra a) e vamos colocar um isolamento envolvendo sua superfície.

Daí você poderia pensar que ao colocar o isolamento, a gente iria ficar com um circuito térmico da seguinte maneira:

Tá certo! Mas aqui, o isolamento é delgado, ou seja, ele é muito, muito, muito fino!

Como a gente sabe, quanto menor a espessura do material, menor será a resistência térmica dele. Então, para um isolamento delgado, a resistência por condução dele será desprezível, ficando, então, só a contribuição da resistência de contato!

Sendo assim, o circuito adequado seria:

Fazendo novamente o balanço de energia na superfície do fio, a gente fica com uma expressão parecida com a que achamos na letra a):

E ˙ e = E ˙ s

q e l = T s - T ∞ R t , c + R c v

Mas agora existe uma resistência térmica de contato em série com a de convecção!

Isolando a temperatura da superfície do fio, a gente fica com:

T s = T ∞ + q e l . R t , c + R c v

Mas cuidado!! A gente não pode colocar direto aquele valor de resistência térmica de contato do enunciado! Aquele valor é a resistência por unidade de área ( R t , c ' ' )! Pra gente converter um no outro, basta dividir pela área de troca térmica:

R t , c = R t , c ' ' A                       →                             R t , c = R t , c ' ' π . D . L

Assim:

T s = T ∞ + q e l . R t , c ' ' π . D . L + 1 π . D . L . h

T s = T ∞ + q e l π . D . L . R t , c ' ' + 1 h

Substituindo os valores do enunciado:

T s = 303   K + ( 294 . L )   W π . 0,005   m . L . 0,02   m 2 . K . W - 1 + 1 25   W . m - 2 . K - 1

Dessa maneira, a temperatura da superfície do fio será:

T s = 1426   K

Passo 4

Ainda temos que calcular a temperatura da superfície do isolamento. Então, ao invés de pegar todo o circuito, bora pegar só a parte da convecção!

Assim, nossa equação vai ficar:

q e l = T i s o l . - T ∞ R c v

Isolando a temperatura do isolamento, ficamos com:

T i s o l . = T ∞ + q e l . R c v

T i s o l . = T ∞ + q e l π . L . h

Substituindo os valores:

T i s o l . = 303   K + ( 294 . L )   W π . 0,005   m . L . 25   W . m - 2 . K - 1

T i s o l . = 1051,7   K

Hm, tá lembrado desse número!? Pois é, foi o mesmo valor que a gente achou na letra a). E já era de se esperar, porque estamos calculando a temperatura de um cilindro exposto ao mesmo fluido, com a mesma temperatura e com a mesma taxa de energia gerada.

Mas isso, claro, só porque o isolamento é delgado. “Mas e se ele não fosse?”. É isso que vamos ver na letra c), pequeno gafanhoto! Bora lá!

Passo 5

c Há preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas elevadas. Qual a espessura do isolamento ( k = 0,5   W . m - 1 . K - 1   ) que produzirá o menor valor para a temperatura máxima na camada de isolamento? Qual será o valor da temperatura máxima quando essa espessura de isolamento for utilizada?

Agora sim! Aquele circuito térmico com a resistência de condução do isolamento vai aparecer aqui! Se liga aí:

Então, a gente pode fazer o mesmo esquema que fizemos nas letras a) e b). Então, ao balanço de energia e além...

E ˙ e = E ˙ s

q e l = T s - T ∞ R t , c + R c d + R c v

Agora, a gente tem a resistência de condução em série com as resistências de contato e de convecção! Isolando a temperatura da superfície do fio:

T s = T ∞ + q e l . R t , c + R c d + R c v

Com as expressões da resistência, ficamos com:

T s = T ∞ + q e l . R t , c ' ' 2 π . r . L + ln ⁡ r i / r   2 π . L . k + 1 2 π . r i . L . h

T s = T ∞ + q e l 2 π . L . R t , c ' ' r + ln ⁡ r i / r   k + 1 r i . h

Mas agora temos um pequeno desafio: a gente não sabe nem a temperatura da superfície ( T s ), nem a espessura do isolamento ( δ = r i - r ), pra poder calcular a resistência de condução. O que fazer?

Passo 6

O enunciado nos pediu uma coisa: a espessura do isolamento que produzirá o menor valor para a temperatura máxima na camada de isolamento.

Você já aprendeu no cálculo como encontrar máximo e mínimos, não é mesmo? Pois é, então aqui a gente pode achar qual é o valor de r i que faz a derivada de T s zerar!

Derivando a expressão que achamos em função de r i , teremos:

d T s d r i = 0 + q e l 2 π . L . 1 r . k . r r i - 1 r i 2 . h

No ponto de mínimo, a derivada é nula:

0 = q e l 2 π . L . 1 k . r i - 1 r i 2 . h

1 k . r i = 1 r i 2 . h

Assim:

r i = k h

Ou seja, o raio do isolamento equivale a:

r i = 0 , 5   W . m - 1 . K - 1 25   W . m - 2 . K - 1

r i = 0,02   m

Assim, a espessura do isolamento será:

δ = r i - r

δ = 0,02   m - 0,005 m 2

δ = 0,0175   m

Passo 7

Agora que já descobrimos a espessura do isolamento, podemos determinar as temperaturas da superfície do fio e do isolamento.

Pela expressão que achamos da temperatura na superfície do fio:

T s = T ∞ + q e l 2 π . L . R t , c ' ' r + ln ⁡ r i / r   k + 1 r i . h

T s = ( 303   K ) + 294 . L   W 2 π . L . 0 , 02 m 2 . K W 0,0025   m + ln ⁡ 0,02   m 0,0025   m   0,5 W m . K + 1 0,02   m . 25 W m 2 . K

Pelos cálculos, ficamos com:

T s = 964   K

Essa será a temperatura máxima do Sistema, dado que ela se refere a superfície mais próxima à geração de calor (que ocorre no interior do fio).

Resposta

a )   T s = 1051,7   K

b )   T s = 1426   K         e             T i s o l . = 1051,7   K

        c )     δ = 0,015   m               e             T s = 964   K  

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