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Exercícios Resolvidos de Condutores e Isolantes

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Enunciado

Um determinado material possui, no equilíbrio eletrostático, uma distribuição de cargas uniformemente simétricas, porém não uniformes, possui uma densidade ρ ( r ) dada por:

ρ r = ρ 0 1 - r R ,     p a r a   r < R

e

ρ r = 0 ,     p a r a   r ≥ R  

em que ρ 0 = 3 Q / ( π R 3 ) é uma constante positiva. Dada essa distribuição, o material em questão seria condutor ou um isolante?

Passo 1

Bom, a primeira coisa que precisamos notar aqui é o comportamento da distribuição de carga com a distância r . Quando r = 0 , ou seja, exatamente no centro da esfera, vamos ter que

ρ r = 0 = ρ 0 ,

o que significa que o material que a gente está considerando tem carga no ponto r = 0 . Além disso, se a gente vai aumentando a distância r a partir do centro em direção à superfície do material, ainda teremos alguma carga até que, exatamente em r = R , sendo R a nova distância do centro da esfera.

ρ r = R = 0   ‼

Como tem carga distribuída dentro do volume da esfera em r < R e essa esfera está no regime eletrostático, então material não pode ser um condutor.

Sabemos que o condutor no equilíbrio eletrostático tem as cargas em excesso todas distribuídas sobre a sua superfície e, por isso, dentro do volume do condutor não há cargas. E, de fato, não poderia ser um condutor, pois em r = R , temos ρ r = R = 0 , ou seja, não há carga sobre a superfície do material.

Por essa razão, o material que estamos analisando seria um isolante com cargas distribuídas ao longo de seu volume ( r < R ) e nenhuma carga sobre sua superfície ( r = R ).

Resposta

O material em questão seria um isolante.

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