Exercícios Resolvidos de Condutores e Isolantes

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Enunciado

Três cascas esféricas concêntricas, de raios R ,   2 R   e   3 R respectivamente, são feitas de um material condutor perfeito de espessura desprezível. Em cada casca esférica está colocada a mesma quantidade de carga elétrica líquida igual a Q. As cascas esféricas estão em equilíbrio eletrostático. Não considere nenhuma outra carga na vizinhança das cascas esféricas ao responder às questões abaixo. Considere o centro do sistema de coordenadas coincidindo com o centro das cascas esféricas.

  1. Faça um desenho do sistema incluindo as cascas esféricas e os eixos de coordenadas.
  2. Calcule o vetor campo elétrico ao longo do eixo x para as situações:
  • x < R ;
  • R < x < 2 R ;
  • 2 R < x < 3 R ;
  • 3 R < x
  • Calcule a densidade de cargas na superfície externa da casca esférica de raio 3 R .
  • Passo 1

    Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você aqui!

    Letra (a):

    Vamos começar com um desenho. Vou reproduzir aqui um corte na vertical dessas cascas concêntricas. Cada casca deve ter carga líquida igual a Q , precisamos lembrar disso, ok?

    Na casca mais interna temos a carga Q , na casca intermediária temos que na parte de dentro deve ter carga – Q (para contrabalançar a carga da casca mais interna) e carga + 2 Q na parte externa da casca, para que no total tenha carga líquida igual a + 2 Q - Q = + Q .

    E na casca mais externa? Bom, na parte interior ela precisa ter carga - 2 Q , para contrabalançar a carga da parte de fora da carga do meio. E para ter carga líquida igual a Q , na parte externa da casca maior precisamos de uma carga + 3 Q .

    O desenho fica assim:

    Passo 2

    Letra (b):

    Pela lei de Gauss o campo elétrico vai ser na direção x para fora, e proporcional à carga que está contida dentro da superfície gaussiana. A forma geral desse campo é:

    E → = Q i n t 4 π ϵ 0 x ^ x 2

    Na região x < R não temos carga líquida dentro, logo ali o campo elétrico é zero:

    E → = 0

    Na região R < x < 2 R temos que apenas a carga da superfície mais interna contribui para o campo. Assim temos que nessa região Q i n t = Q e o campo ali é:

    E → = Q 4 π ϵ 0 x ^ x 2

    Já na região 2 R < x < 3 R temos que tanto a casca mais interna, quanto a carga do meio contribuem, mas a mais externa não. Sendo assim a carga interna é Q i n t = 2 Q e o campo é:

    E → = 2 Q 4 π ϵ 0 x ^ x 2

    Por fim, na região x > 3 R , temos as três cascas contribuindo para o campo. A carga líquida interna é Q i n t = 3 Q e o campo é:

    E → = 3 Q 4 π ϵ 0 x ^ x 2

    Passo 3

    Letra (c):

    Densidade superficial é calculada assim:

    σ = Q t o t a l á r e a

    A casca é esférica, então a área é 4 π r 2 . O raio é 3 R , pois é a casca mais externa. A carga total é a carga na superfície externa da casca mais externa que é 3 Q . Agora é só substituir tudo:

    σ = 3 Q 4 π 3 R 2 = Q 12 π R 2

    Beleza?

    Espero ter te ajudado!

    Resposta

    ( a )

    b 0 ,   E → = Q 4 π ϵ 0 x ^ x 2 ,   E → = 2 Q 4 π ϵ 0 x ^ x 2 ,   E → = 3 Q 4 π ϵ 0 x ^ x 2

    ( c ) Q 12 π R 2

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