Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia

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Enunciado

Um esquiador de 60   k g parte do repouso a uma altura H = 20   m acima da extremidade de uma rampa para saltos de esqui (Fig. 3), e deixa a rampa fazendo um ângulo de θ = 28 ° com a horizontal. Despreza os efeitos da resistência do ar e suponha que a rampa não tem atrito. ( a ) Qual é a altura máxima h do salto em relação a extremidade da rampa? ( b ) Se o esquiador aumentasse o próprio peso colocando uma mochila nas costas, h seria maior, menor ou igual?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos nesta questão um esquiador de massa m = 60   k g , que está no topo de um plano inclinado de altura H = 20   m . No final deste plano inclinado, temos uma rampa que faz com que após a descida, o esquiador seja lançado obliquamente em um ângulo de 28   ° com a horizontal. Durante este movimento o esquiador irá alcançar uma altura máxima que devemos calcular na alternativa a ) e então analisar a diferença que mudanças na massa do esquiador faria ao valor calculado! O sistema descrito é tal que

Vamos usar as leis de conservação da energia mecânica para obter a velocidade inicial com a qual o esquiador é lançado, e novamente, para determinar a altura máxima atingida, ou seja, vamos utilizar basicamente que

Δ K = - Δ U

Para forças conservativas! O que é o caso da força gravitacional! Vamos lá!

Passo 2

Se o esquiador está inicialmente em repouso, temos que sua energia cinética inicial K 0 é zero e, estando em uma altura H , temos que a sua energia potencial inicial é U 0 = m g H . Se considerarmos que a ponta da rampa é o ponto de energia potencial nula, ou seja, U f = 0 , temos que a energia cinética ganha será

Δ K   =   K f - K 0 = K f

que será igual a

Δ U = ( U f - U 0 ) = - m g H

E portanto, temos que

K f = m g H = ( 60 k g ) ( 10   m / s ) ( 20   m )

Resolvendo o produto obtemos que K f = 12000   J . E, se utilizarmos a definição de energia cinética como

1 2 m v 2 = 12000   J

Podemos isolar a velocidade para obter

v = 20   m / s

Maravilha! Agora o que podemos fazer com essa velocidade? Ela será uma energia cinética inicial em uma segunda conservação de energia! Conseguiu visualizar? Vem comigo!

Passo 3

Agora, temos que inicialmente temos uma energia cinética de K i = 12000   J , como vimos no passo anterior, neste mesmo ponto a energia potencial é nula ( U i = 0 ) pela nossa escolha de referencial. A altura máxima que o corpo irá chegar está relacionada à uma altura máxima h , obtida quando o corpo para de se mover para cima e começa a cair. Isso acontece quando a energia cinética total é igual a 0 ?

NÃO! Note que horizontalmente o sistema não sofre a influência de nenhuma força, portanto, o corpo ainda terá velocidade em sua altura máxima! No entanto, a componente vertical da velocidade será nula! Desta forma, precisamos saber quanto da energia cinética inicial é devido a componente vertical da velocidade! Pois essa é a energia gasta ao levarmos a partícula até a altura h . Mas como achamos essa componente vertical?

Temos o seguinte triângulo retângulo formado pelo vetor velocidade inicial e ângulo do lançamento oblíquo

Note que como a hipotenusa é dada pelo módulo da velocidade inicial, que achamos no passo anterior como | v → | = 20   m / s , e como temos que o cateto oposto deste triângulo é a componente vertical da velocidade, podemos obter a componente usando que

s e n ( 28,0 ° ) = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = v y 20   m / s

E, portanto, a nossa componente vertical será

v y = 20   s e n ( 28,0 ° )   m / s = 9,4   m / s

Ou seja, a energia cinética que será transformada em potencial pelo trabalho da força gravitacional será

K i = 1 2 m v y 2 = 1 2 ( 60   k g ) ( 9,4   m / s ) 2

Colocando em uma calculadora, temos que

K i = 2644,8   J

Vamos agora aplicar a conservação da energia! Belezinha? Bora lá!

Passo 4

Temos que inicialmente K i = 2644,8   J e U i = 0 . Na altura máxima temos que a energia cinética vertical toda se transforma em potencial, portanto, temos que

Δ K = - Δ U

Utilizando que U f = m g h , temos que

K f - K i = - ( U f - U i )

ou seja

- K i = - m g h

E a altura máxima será

h = 2644,8   J ( 60   k g )   ( 10   m / s 2 ) = 4,4   m

Agora, será que mudar a massa do esquiador fará alguma diferença? Não, não fará! Note que a lei de conservação de energia em termos gerais é

1 2 M v 2 - 1 2 M v 0 2 = - ( M g h - M g h 0 )

Todos os termos contém a massa M = m + m o c h i l a , e esse termo é irrelevante, portanto, adicionar mais massa ao esquiador não mudaria a altura máxima no caso sem atrito ou resistência do ar. A questão foi isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  ( a )   h = 4,4   m   ( b )   N ã o   a l t e r a

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