Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia

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Enunciado

A figura abaixo ilustra um satélite de massa m que está em movimento em uma órbita elíptica ao redor de um planeta de massa M . O planeta encontra-se localizado em um dos focos da elipse (ponto F ). As distâncias mínima e máxima entre o planeta e o satélite são, respectivamente, D (distância entre o foco F e o ponto P , chamado periélio) e 5 D (distância entre o foco F e o ponto A , chamado afélio). Nestas condições:

(a) Determine a razão entre a energia mecânica do sistema no ponto A ( E A ) e a energia mecânica no ponto P ( E P ) , isto é, E A / E P .

(b) Calcule o módulo das velocidades do satélite nos pontos A ( v A ) e P ( v P ) .

Passo 1

Letra a : Primeiramente, vamos lembrar algumas leis de conservação.

Para o nosso caso, vamos considerar que a massa M do planeta seja muito maior que a do satélite (massa m ), de forma que podemos considerar o planeta parado no ponto F . Desta forma, considere a situação abaixo.

O vetor   r → vai do planeta até o satélite. A interação relevante entre o satélite e o planeta é a gravitacional. Sabemos que a força gravitacional é uma força conservativa e radial. Assim, temos duas quantidades (temos mais, mas são duas que importam para gente) que se conservam: a energia mecânica total e o momento angular total.

A energia mecânica total do sistema é a energia do satélite interagindo com o planeta, que pode ser separada em duas partes: em sua energia cinética e sua energia potencial gravitacional, isto é,

E = K + U = 1 2 m v → 2 - G M m r →

com G a constante de gravitação universal.

Já o momento angular total do sistema é o momento angular do satélite em torno do planeta. O mesmo é dado (em módulo) por

L → = m r → v → s e n ( θ )

com θ o menor ângulo entre   r → e   v → .

Desta forma, no próximo passo, vamos resolver o item (a). Simbora!

Passo 2

Letra a : Como foi comentado no passo 1, a força gravitacional é uma força conservativa. Isto faz com que a energia total do sistema seja conservada sempre. Assim, para qualquer ponto da trajetória do satélite,

E = 1 2 m v → 2 - G M m r → = c o n s t a n t e

Desta forma, considere os pontos A e P . Como a conservação é para todos os pontos, temos que

E A = E P

isto é, a energia mecânica total no ponto A é igual a energia mecânica total no ponto P . Deste modo, temos imediatamente que

E A E P = 1

Passo 3

Letra ( b ) : Neste passo, aplicaremos as equações de conservação para determinar v A e v P .

Sabemos que o momento angular total do sistema é conservado (pois a força gravitacional é uma força radial). Deste modo, temos que, nos pontos A e P

L → A = m r → A v → A s e n θ A = L → P = m r → P v → P s e n θ P

Podemos visualizar o sistema quando passa por este pontos. Veja abaixo.

Da figura anterior, vemos imediatamente que

r → A = 5 D                     r → P = D                 e             θ A =   θ P = 90 °

Desta forma, temos da equação de conservação de momento angular,

L → A = L → P

m r → A v → A s e n θ A = m r → P v → P s e n θ P

m × 5 D × v A × s e n 90 ° = m × D × v P × s e n 90 °

5 v A = v P

Agora, da equação de conservação de energia mecânica, temos que

E A = E P

1 2 m v → A 2 - G M m r → A = 1 2 m v → P 2 - G M m r → P

1 2 v A 2 - G M 5 D = 1 2 v P 2 - G M D

Substituindo v P = 5 v A , temos que

1 2 v A 2 - G M 5 D = 1 2 5 v A 2 - G M D                     ↔                       25 2 v A 2 -   1 2 v A 2 = G M D - G M 5 D

24 2 v A 2 = 4 G M 5 D                     ↔                     v A = G M 15 D  

Podemos agora determinar v P . Como v P = 5 v A , temos que

v P = 5 v A = 5 G M 15 D = 5 G M 3 D

Resposta

a     E A E P = 1

b     v A = G M 15 D                     e                     v P = 5 G M 3 D

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