Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia

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Enunciado

a Uma partícula é lançada verticalmente a partir da superfície da Terra com velocidade de módulo v 0 . Ela atinge uma altura máxima h = 2 · 10 3   k m em relação ao solo. Desprezando efeitos de atrito, determine v 0 .

b Suponha um planeta de massa m segue uma órbita circular de raio R e período T ao redor de uma estrela de massa M . Denotando por G a constante gravitacional de Newton, calcule uma expressão para a razão T 2 / R 3 em termos de M e G .

( c ) Considere um anel de raio R e massa total m cujo centro está a uma distância H de uma partícula pontual de massa M , conforme ilustrado na figura abaixo. Calcule a força gravitacional que age na partícula de massa M , incluindo sua direção e sentido.

[Dica: Particione o anel em pequenos pedaços de massa infinitesimal e use argumentos de simetria para justificar que apenas uma componente da força é diferente de zero. Outra maneira de fazer o problema é calcular a energia potencial de interação e depois tomar a derivada em relação a H .]

Dados: G = 6 x 10 - 11 m 2 / K g . s   ; M T = 6 x 10 24   k g R T = 6 x 10 6   m

Passo 1

a   Como a altura máxima alcançada pela partícula é muito grande não podemos considerar a aceleração da gravidade constante e por isso não podemos usar as equações que aprendemos em física 1.

Para resolver essa questão precisamos usar o conceito de conservação de energia cinética que vimos em Gravitação.

A energia mecânica inicial é composta pela energia cinética inicial e energia potencial inicial, o valor da energia cinética nesse momento é:

K 0 = 1 2 m v 0 2

Já o da energia potencial depende do raio do da Terra e será dado por:

U 0 = - G M T m R T

Assim, a energia mecânica inicial é

E M 0 = K 0 + U 0 = 1 2 m v 0 2 - G M T m R T

Beleza, agora vamos calcular a energia mecânica final. No momento final a velocidade é zero, assim a energia cinética é zero também. Então a energia mecânica final é igual a energia potencial final.

E M f = U f = - G M T m R T + h

Pela conservação de energia temos que E M 0 = E M f  

1 2 m v 0 2 - G M T m R T = - G M T m R T + h

v 0 2 = 2 G M T 1 R T - 1 R T + h

v 0 2 = 2 G M T R T h R T + h

Agora, vamos substituir os valores que temos, pois foi dado pela prova

G = 6 x 10 - 11 m 2 / K g . s   ; M T = 6 x 10 24   k g R T = 6 x 10 6   m

v 0 2 = 2.6 x 10 - 11 x 6 x 10 24 6 x 10 6 . 2 x 10 3 6 x 10 6 + 2 x 10 3

v 0 2 = 30 x 10 6   m / s

v 0 = 5,47 x 10 3   m / s

Passo 2

b   Em um movimento circular a força gravitacional será igual a força centrípeta.

F g = G M m R 2

F c p = m v 2 R → v = ω R

Como queremos achar algo pelo período vamos substituir a velocidade v por ω R , pois a velocidade angular é 2 π / T , assim a força centrípeta é igual a

F c p = m 2 π T 2 . R

Igualando as forças temos

m 2 π T 2 . R = G M m R 2

Queremos a razão T 2 / R 3

Então vamos isolar essa razão e assim obtemos:

T 2 R 3 = 4 π 2 G M

Passo 3

c   Agora as coisas ficam um pouco mais delicadas. O que o problema nos descreve é isso:

Bem, vamos seguir a dica dele então. Vamos provar que só terá força resultante diferente de zero no eixo Z . Bem, isso por que é um disco circular. Concorda que a partícula do disco de massa d m representada na figura acima gera uma força que terá componentes no eixo x , y   e   z . Mas uma outra partícula do outro lado do irá gerar uma força igual, porem com o sentido oposto no eixo x , y e mesmo sentido em z . Assim, devido a simetria da figura as forças no plano x y irão se somar e dar uma resultante igual a zero. Pois a distância sempre será a mesma. Enquanto isso elas se somarão formará uma força no eixo z .

Pela equação de força temos que a força gerada pela partícula do disco de massa d m , será:

d f = G M . d m d 2

Vamos começar a descobrir o que não temos a distância é a hipotenusa do triangulo retângulo, assim vale:

d 2 = H 2 + R 2

Então a força causada pela partícula é:

d f = G M . d m H 2 + R 2

Mas essa é a força resultante, como vimos pela simetria a componente em x   o u   y não nos interessa, pois será cancelada, queremos apenas a força em z , então vamos decompor essa força.

Para decompor temos que imaginar um ângulo, o mais fácil é o ângulo que a força faz com a horizontal, θ

Sendo assim para encontrarmos a componente na direção z , temos que multiplicar a força por s e n   θ , sendo o ângulo dentro do triangulo, podemos dizer que:

s e n   θ = H H 2 + R 2

Assim a força causada por esse ponto infinitesimal é:

d f z = G M . d m H 2 + R 2 H H 2 + R 2

Agora para descobrirmos a força gerada por todo anel, basta integrarmos os dois lados dessa equação

F z = ∫ G M . d m H 2 + R 2 H H 2 + R 2 = G M H H 2 + R 2 3 / 2 . ∫ d m

A integral é o somatório de todas as massas infinitesimais do anel, o enunciado nos disse que a massa do anel é m , assim:

F z = G M H m H 2 + R 2 3 / 2

Resposta

a   v = 5 , 47 . 10 3   m / s

b   T 2 / R 3 = 2 π 2 / G M

c   F s = G M H m R 2 + H 2 3 / 2

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