Exercícios Resolvidos de Conservação de Energia

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Enunciado

Um objeto de 20   k g sofre a ação de uma força conservativa dada por F → = - 3,0 x   -   5,0 x 2 , com F → em newtons e x em metros. Tome a energia potencial associada a essa força como sendo nula quando o objeto está em x = 0 . ( a ) Qual é a energia potencial associada a essa força quando o objeto está em x = 2,0   m ? ( b ) se o objeto possui uma velocidade de 4,0   m / s no sentido negativo do eixo x quando está em x = 5,0   m , qual é a sua velocidade ao passar pela origem? ( c ) Quais são as respostas dos itens ( a ) e ( b ) se a energia potencial do sistema é tomada como sendo - 8,0   J quando objeto está em x = 0 ?

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos aqui um objeto de 20   k g sob a ação de uma força conservativa dada por

F → = - 3,0 x   -   5,0 x 2

Como esta força é conservativa, temos que a ela está relacionada uma função potencial (Que é utilizada para se obter a energia potencial), em particular, o enunciado nos pede para considerar que em x = 0 a nossa energia potencial é nula. Mas como obtemos esta energia potencial?

Precisamos utilizar que uma força conservativa é obtida através da seguinte relação com a função potencial

F → = - ∇ U ( x )

em que é o operador gradiente, como temos um sistema unidimensional, apenas na direção x, temos que isso se reduz à

F → = - d U ( x ) d x   i ^

Maravilha! Usando esta relação para obter a função potencial podemos calcular a alternativa a ) que nos pede para calcular a energia potencial em x = 2 . E, podemos utilizar a conservação de energia para forças conservativas na forma

Δ K = - Δ U

Para encontrar a velocidade na origem como pede a alternativa b ) . A alternativa c ) é um repeteco de ambas as alternativas anteriores, apenas teremos que mudar a nossa função potencial devido a nova escolha de referencial que indica U = - 8,0   J em x = 0 . Belezinha? Vamos lá!

Passo 2

Primeira coisa, vamos achar a nossa função potencial através da definição

F → = - d U ( x ) d x   i ^

Note que se multiplicarmos ambos os lados por d x , temos que

d U ( x ) = - F → d x

Como temos que em x = 0 , U ( x ) = 0 , e em x qualquer, temos um U ( x ) qualquer, podemos integrar em ambos os lados para obter

∫ 0 U ( x ) d U ( x ) = - ∫ 0 x F → ( x ) d x

Resolvendo o lado esquerdo e substituindo a força dada no enunciado do lado direito, temos que

U ( x ) - 0 = - ∫ 0 x [ - 3,0 x - 5,0 x 2 ] d x

A função potencial tem então a forma

U ( x ) = 3,0 ∫ 0 x x d x + 5,0 ∫ 0 x x 2 d x

Utilizando que

∫ 0 x x d x = x 2 2 | 0 x = x 2 2

e também que

∫ 0 x x 2 d x = x 3 3 | 0 x = x 3 3

Temos a nossa função potencial com o seguinte formato

U ( x ) = 3 2 x 2 + 5 3 x 3

De forma que em x = 2 , temos simplesmente que

U ( 2 ) = 3 2 ( 2 ) 2 + 5 3 ( 2 ) 3 = 6 + 13,3 = 19,3   J

A primeira alternativa já foi! Vamos seguir para a próxima!

Passo 3

O problema nos indica que a velocidade da partícula é v = 4,0   m / s em módulo quando temos x = 5,0   m , de forma que a energia cinética neste ponto é

K 5 = 1 2 ( 20   k g ) ( 4,0   m / s ) 2 = 160   J

e, a energia potencial é

U ( 5 ) = 3 2 ( 5 ) 2 + 5 3 ( 5 ) 3 = 245,8   J

Em x = 0 teremos que U ( 0 ) = 0 e também que K 0 = 1 2 m v ( 0 ) 2 . Portanto, a conservação de energia nos diz que

Δ K = K 0 - K 5 = - ( U ( 0 ) - U ( 5 ) )

Ou seja, temos que

1 2 m v ( 0 ) 2 - 160   J   =   245,8   J

Isolando v ( 0 ) 2 temos que

v ( 0 ) = 6,4   m / s

Ótimo! Agora, consegue me dizer o que irá mudar se U ( x = 0 ) = - 8,0   J ? Se conseguir perceber, pode fazer a c ) por conta própria! Mas na dúvida! Vem comigo!

Passo 4

A diferença é no limite inferior da integral que realizamos para obter a função potencial! Note que agora como em x = 0 temos que U ( 0 ) = - 8,0   J , a nossa integral toma o seguinte formato

∫ - 8 U ' ( x ) d U ( x ) = - ∫ 0 x F → ( x ) d x

Que pode ser resolvida da mesma forma que fizemos anteriormente, mas agora teremos que

U ' ( x ) - ( - 8,0   J ) = 3 2 x 2 + 5 3 x 3

Ou seja, temos que

U ' ( x ) = 3 2 x 2 + 5 3 x 3 - 8,0   J = U ( x ) - 8,0   J

A mudança causou um deslocamento de 8,0   J na função potencial, portanto, temos que

U ' ( 2 ) = U ( 2 ) - 8,0   J = 19,3   J - 8,0   J

Ou seja, temos que U ' ( 2 ) = 11,3 J . Agora, para a velocidade, temos que a diferença aparece apenas quando calculamos - Δ U , mas note que U ' ( 0 ) = U ( 0 ) - 8,0 J = - 8,0   J e que U ' ( 5 ) = U ( 5 ) - 8,0 J . Portanto, temos que

Δ U ' = U ' ( 5 ) - U ' ( 0 ) = U ( 5 ) - 8,0   J   -   U ( 0 ) + 8,0   J

Ou seja, como os 8,0   J cancelam, temos que

Δ U ' = Δ U

E, não há motivo para que a mudança de referencial altere a velocidade do objeto! O que faz sentido físico! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  ( a )   U ( 2 ) = 19,3   J   ( b )   v ( 0 ) = 6,4   m / s       ( c )   U ' ( 2 ) = 11,3   J     e       v ( 0 ) = 6,4   m / s

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